Exercice 58

Modèle. On numérote les boules et l'on munit l'ensemble des $(b + r)!$ ordres de sortie de la probabilité uniforme. L'ensemble des rangs de sortie des boules rouges est une partie à $r$ éléments de $\llbracket 1\,,b + r \rrbracket$, et chacune de ces parties correspond au même nombre $r!\,b!$ d'ordres (on permute les rouges entre elles et les blanches entre elles) : par le lemme des bergers, cette partie suit la loi uniforme sur les $\binom{b + r}{r}$ parties à $r$ éléments. Le rang $N$ est le plus petit élément de cette partie, et $N \in \llbracket 1\,,b + 1 \rrbracket$, puisque les $b + 1$ premiers tirages ne peuvent pas être tous blancs.

Loi de $N$. Soit $k \in \llbracket 1\,,b + 1 \rrbracket$. L'événement $(N = k)$ est formé des parties qui contiennent $k$, ne contiennent aucun élément de $\llbracket 1\,,k - 1 \rrbracket$, et contiennent $r - 1$ éléments de $\llbracket k + 1\,,b + r \rrbracket$, ensemble à $b + r - k$ éléments : $$\boxed{\mathrm{P}(N = k) = \frac{\binom{b + r - k}{r - 1}}{\binom{b + r}{r}}, \qquad k \in \llbracket 1\,,b + 1 \rrbracket}$$ On retrouve ce résultat par les probabilités composées (proposition 9), en tirant d'abord $k - 1$ boules blanches, puis une rouge : $$\mathrm{P}(N = k) = \frac{b}{b + r} \cdot \frac{b - 1}{b + r - 1} \cdots \frac{b - k + 2}{b + r - k + 2} \cdot \frac{r}{b + r - k + 1},$$ et les deux formules coïncident, comme on le vérifie en simplifiant les factorielles. Par exemple, pour $b = 3$ et $r = 2$, la loi de $N$ est $\big(\frac{4}{10}, \frac{3}{10}, \frac{2}{10}, \frac{1}{10}\big)$ sur $\llbracket 1\,,4 \rrbracket$ : elle décroît, puisqu'il est d'autant moins probable d'attendre longtemps.

Identité. Les probabilités $\mathrm{P}(N = k)$, pour $k \in \llbracket 1\,,b + 1 \rrbracket$, ont pour somme $1$. En posant $j = b + r - k$, qui parcourt $\llbracket r - 1\,,b + r - 1 \rrbracket$, on obtient $$\boxed{\sum_{k=1}^{b+1} \binom{b + r - k}{r - 1} = \sum_{j=r-1}^{b+r-1} \binom{j}{r - 1} = \binom{b + r}{r}}$$ C'est la formule de la crosse de hockey, utilisée dans l'exercice 35 de la feuille du chapitre 3, avec $p = r - 1$ et $n = b + r - 1$. Elle reçoit ici une démonstration probabiliste : on classe les parties à $r$ éléments de $\llbracket 1\,,b + r \rrbracket$ selon leur plus petit élément.