Exercice 57

L'hypothèse $X \sim -X$ donne, pour tout réel $x$, $\mathrm{P}(X = -x) = \mathrm{P}(-X = x) = \mathrm{P}(X = x)$.

1. La variable $|X|$ prend ses valeurs dans une partie finie $F$ de $\mathbb{R}_{+}$. On munit $\Omega' = F \times \{-1, 1\}$ de la probabilité définie par la distribution $p_{(y, e)} = \frac{1}{2}\,\mathrm{P}(|X| = y)$ (proposition 17, avec la loi de $|X|$ sur $F$ et la loi uniforme sur $\{-1, 1\}$), et l'on note $Y$ et $\varepsilon$ les deux projections. Par la proposition 17, $Y$ et $\varepsilon$ sont indépendantes, $Y \sim |X|$ et $\varepsilon$ suit la loi uniforme sur $\{-1, 1\}$. Comparons les lois de $\varepsilon Y$ et de $X$.

• Pour $x \neq 0$, on a $(\varepsilon Y = x) = (Y = |x|) \cap (\varepsilon = \operatorname{signe}(x))$, puisque $Y \geqslant 0$. Par indépendance, et grâce à la symétrie de la loi de $X$, $$\mathrm{P}'(\varepsilon Y = x) = \frac{1}{2}\mathrm{P}(|X| = |x|) = \frac{1}{2}\big(\mathrm{P}(X = x) + \mathrm{P}(X = -x)\big) = \mathrm{P}(X = x).$$

• Pour $x = 0$, on a $\mathrm{P}'(\varepsilon Y = 0) = \mathrm{P}'(Y = 0) = \mathrm{P}(|X| = 0) = \mathrm{P}(X = 0)$.

Les deux variables ont les mêmes probabilités $\mathrm{P}(\,\cdot = x)$ pour tout réel $x$, donc la même loi (proposition 12) : $$\boxed{(\Omega', \mathrm{P}') = \big(F \times \{-1, 1\},\ \mathrm{P}' \big), \qquad Y = |X| \text{ en loi}, \quad \varepsilon \text{ uniforme sur } \{-1, 1\}, \quad Y \perp\!\!\!\perp \varepsilon, \qquad \varepsilon Y \sim X}$$ Une variable de loi symétrique s'obtient donc en tirant sa valeur absolue, puis un signe au hasard, indépendamment.

2. La réponse est non. Soit $\Omega = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\}$, muni de la probabilité uniforme, et $X$ définie par $X(\omega_{1}) = 0$, $X(\omega_{2}) = 1$, $X(\omega_{3}) = -1$ : $X$ suit la loi uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$, et $X \sim -X$. Supposons qu'il existe $Y : \Omega \to \mathbb{R}_{+}$ et $\varepsilon : \Omega \to \{-1, 1\}$ indépendantes telles que $\varepsilon Y \sim X$. Comme $Y \geqslant 0$, on a $(\varepsilon Y = 1) = (\varepsilon = 1, Y = 1)$ et $(\varepsilon Y = -1) = (\varepsilon = -1, Y = 1)$, d'où, par indépendance, $$\mathrm{P}(\varepsilon = 1)\,\mathrm{P}(Y = 1) = \frac{1}{3} = \mathrm{P}(\varepsilon = -1)\,\mathrm{P}(Y = 1).$$ Ainsi $\mathrm{P}(Y = 1) \neq 0$, et $\mathrm{P}(\varepsilon = 1) = \mathrm{P}(\varepsilon = -1) = \frac{1}{2}$. Or toute probabilité d'un événement de $\Omega$ est un multiple de $\frac{1}{3}$ : c'est impossible. $$\boxed{\text{on ne peut pas toujours choisir } (\Omega', \mathrm{P}') = (\Omega, \mathrm{P})}$$ Une recherche exhaustive sur les $2^{3} \times 3^{3}$ couples $(\varepsilon, Y)$, avec $Y$ à valeurs dans $\{0, 1, 2\}$, confirme qu'aucun ne convient ✓.

Piège. L'erreur la plus répandue est de prendre $Y = |X|$ et $\varepsilon = \operatorname{signe}(X)$ sur $\Omega$ lui-même : on a bien $X = \varepsilon|X|$ là où $X \neq 0$, mais $\varepsilon$ et $|X|$ ne sont pas indépendantes en général. Dans l'exemple de la question 2, en posant par exemple $\varepsilon(\omega_{1}) = 1$, on obtient $\mathrm{P}(\varepsilon = 1, |X| = 0) = \frac{1}{3}$ alors que $\mathrm{P}(\varepsilon = 1)\mathrm{P}(|X| = 0) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ ; plus profondément, l'univers est trop pauvre pour porter un signe de probabilité $\frac{1}{2}$. C'est pour cette raison que la question 1 agrandit l'univers, comme le permet la proposition 17.