Exercice 56

1. On prend $\Omega = \llbracket 1\,,6 \rrbracket^{2}$, muni de la probabilité uniforme. L'événement « résultats égaux » contient les six couples $(i, i)$ : $$\boxed{\mathrm{P}(D_{1} = D_{2}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}}$$

2. Les résultats $D_{1}$ et $D_{2}$ sont indépendants et de même loi $(p_{i})$. L'événement $(D_{1} = D_{2})$ est la réunion disjointe des événements $(D_{1} = i, D_{2} = i)$, d'où $$\mathrm{P}(D_{1} = D_{2}) = \sum_{i=1}^{6} \mathrm{P}(D_{1} = i)\mathrm{P}(D_{2} = i) = \sum_{i=1}^{6} p_{i}^{2}.$$ En développant les carrés et en utilisant $\sum_{i} p_{i} = 1$, $$\sum_{i=1}^{6} \Big(p_{i} - \frac{1}{6}\Big)^{2} = \sum_{i=1}^{6} p_{i}^{2} - \frac{2}{6}\sum_{i=1}^{6} p_{i} + \frac{6}{36} = \sum_{i=1}^{6} p_{i}^{2} - \frac{1}{6}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\mathrm{P}(D_{1} = D_{2}) = \frac{1}{6} + \sum_{i=1}^{6} \Big(p_{i} - \frac{1}{6}\Big)^{2} \geqslant \frac{1}{6}}$$ Il y a égalité si et seulement si tous les $p_{i}$ valent $\frac{1}{6}$, c'est-à-dire si les dés sont équilibrés. On peut aussi appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb{R}^{6}$ muni du produit scalaire canonique (chapitre 19, théorème 1) aux vecteurs $(p_{1}, \dots, p_{6})$ et $(1, \dots, 1)$ : elle donne $1 = \big(\sum p_{i}\big)^{2} \leqslant 6\sum p_{i}^{2}$, avec égalité si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires, ce qui conduit au même cas d'égalité.

À retenir. Piper deux dés de la même façon augmente toujours la probabilité d'un double. L'identité obtenue dit plus : l'excès de probabilité est exactement la somme des carrés des écarts à la loi uniforme, et il est d'autant plus grand que les dés sont fortement pipés. Si les dés sont pipés différemment, le résultat tombe : un dé qui ne donne que des $1$ et un dé qui ne donne que des $2$ ne font jamais de double.