Exercice 4

Chaque étudiant a exactement une langue et exactement une option : les six ensembles d'étudiants définis par un couple (langue, option) sont deux à deux disjoints et recouvrent le groupe. On note $a_{\mathrm{I}}$, $a_{\mathrm{C}}$, $a_{\mathrm{A}}$ les effectifs des étudiants d'anglais qui suivent l'informatique, la chimie et l'astronomie, et $g_{\mathrm{I}}$, $g_{\mathrm{C}}$, $g_{\mathrm{A}}$ ceux des étudiants d'allemand. Par la proposition 2 (i), l'effectif d'une option est la somme des effectifs de ses deux cases, et celui d'une langue la somme de ses trois cases. Les données s'écrivent $$a_{\mathrm{A}} = 8, \quad a_{\mathrm{I}} = 3, \quad g_{\mathrm{C}} = 6, \quad a_{\mathrm{A}} + g_{\mathrm{A}} = 12, \quad a_{\mathrm{C}} + g_{\mathrm{C}} = 15, \quad g_{\mathrm{I}} + g_{\mathrm{C}} + g_{\mathrm{A}} = 16,$$ d'où successivement $g_{\mathrm{A}} = 12 - 8 = 4$, $a_{\mathrm{C}} = 15 - 6 = 9$ et $g_{\mathrm{I}} = 16 - 6 - 4 = 6$.

On lit dans la dernière case l'effectif du groupe, obtenu en sommant indifféremment la dernière ligne ou la dernière colonne. $$\boxed{\text{Le groupe compte } 36 \text{ étudiants, dont } 20 \text{ étudient l'anglais}}$$ Piège. Sans l'hypothèse « exactement une langue et exactement une option », le problème n'a pas de solution unique : un étudiant qui suivrait deux options serait compté deux fois dans les effectifs des options. C'est l'hypothèse de partition qui autorise l'addition des cases.