Exercice 3

1. Les cinq lettres de MATHS sont distinctes : une anagramme est une façon de les ordonner, c'est-à-dire une permutation de ces cinq lettres, et il y en a $5! = 120$ (théorème 1). Pour RIRE, on choisit les deux positions du R parmi les quatre, puis on place I et E dans les deux positions restantes, de $2$ façons ; pour ANANAS, on choisit les trois positions des A, puis les deux positions des N parmi les trois restantes, le S occupant la dernière. $$\boxed{\text{MATHS} : 5! = 120, \qquad \text{RIRE} : \binom{4}{2} \times 2 = 12, \qquad \text{ANANAS} : \binom{6}{3}\binom{3}{2} = 60}$$

2. Notons $L$ l'ensemble des anagrammes du mot. On rend les $n$ lettres discernables en indiçant les exemplaires de chaque lettre : la $i$-ième lettre $\ell_{i}$ devient $\ell_{i,1}$, …, $\ell_{i,k_{i}}$. On obtient $n$ symboles distincts, et l'ensemble $\Lambda$ des façons de les ranger en un mot de longueur $n$ a $n!$ éléments (théorème 1). L'application $\pi : \Lambda \to L$ qui efface les indices est surjective. Fixons une anagramme $w \in L$ : la lettre $\ell_{i}$ y occupe $k_{i}$ positions, et un antécédent de $w$ par $\pi$ est déterminé par la façon de distribuer les indices $1$, …, $k_{i}$ dans ces positions, pour chaque $i$, soit une permutation de $\llbracket 1\,,k_{i} \rrbracket$ pour chaque $i$. La fibre $\pi^{-1}(\{w\})$ a donc $k_{1}!\cdots k_{r}!$ éléments (proposition 2 (iv) et théorème 1), quel que soit $w$, et le lemme des bergers donne $n! = |L| \times k_{1}!\cdots k_{r}!$. $$\boxed{|L| = \frac{n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{r}!}}$$ On peut aussi choisir successivement les positions des lettres : $\binom{n}{k_{1}}$ choix pour la première, puis $\binom{n - k_{1}}{k_{2}}$ pour la deuxième, et ainsi de suite ; le produit se simplifie en cascade et donne le même nombre. Avec MATHS, RIRE et ANANAS, on retrouve $\frac{5!}{1!^{5}} = 120$, $\frac{4!}{2!\,1!\,1!} = 12$ et $\frac{6!}{3!\,2!\,1!} = 60$ ✓.

L'exercice 37 de la feuille du chapitre 3 a montré que le coefficient de $x^{p}y^{q}z^{r}$ dans $(x + y + z)^{n}$ est $\frac{n!}{p!\,q!\,r!}$ : c'est le nombre d'anagrammes d'un mot formé de $p$ lettres $x$, $q$ lettres $y$ et $r$ lettres $z$. Ce n'est pas une coïncidence : en développant le produit des $n$ facteurs $(x + y + z)$, on choisit une lettre dans chaque facteur, c'est-à-dire un mot de longueur $n$, et le terme $x^{p}y^{q}z^{r}$ apparaît une fois pour chaque mot qui contient $p$ fois $x$, $q$ fois $y$ et $r$ fois $z$. C'est la démonstration combinatoire de la formule du binôme (théorème 3), étendue à trois termes.