Exercice 2

1. Numérotons les boulangeries de $1$ à $4$ et les jours de la semaine de $1$ à $7$. Un choix des jours de fermeture est une application $f : \llbracket 1\,,4 \rrbracket \to \llbracket 1\,,7 \rrbracket$, où $f(i)$ est le jour de fermeture de la boulangerie $i$. La proposition 3 donne $7^{4}$ choix. Lorsque deux boulangeries ne ferment jamais le même jour, $f$ est injective, et le théorème 1 donne $A_{7}^{4}$ choix. $$\boxed{7^{4} = 2\,401 \text{ choix sans contrainte}, \qquad A_{7}^{4} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840 \text{ choix de jours distincts}}$$ Pour la dernière condition, on passe au complémentaire, comme le recommande la méthode de la section 21.2.6. Un jour donné, les quatre boulangeries sont fermées si et seulement si elles ferment toutes ce jour-là : la condition échoue exactement pour les $7$ applications constantes. $$\boxed{7^{4} - 7 = 2\,394 \text{ choix laissant chaque jour une boulangerie ouverte}}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est de lire « chaque jour, au moins une boulangerie ouverte » comme « chaque jour, au moins une boulangerie fermée », ce qui demanderait que $f$ soit surjective, impossible avec quatre boulangeries et sept jours. La condition porte sur les boulangeries ouvertes, et elle n'exclut que les fermetures simultanées des quatre.

2. Un choix de boissons pour $n$ matins est une $n$-liste d'éléments de $\{T, C\}$, où $T$ désigne le thé et $C$ le café.

(a) Sans contrainte, la proposition 3 donne le nombre de listes : $$\boxed{2^{n} \text{ choix}}$$

(b) On retire les deux listes constantes, celle qui ne contient que $T$ et celle qui ne contient que $C$ : $$\boxed{2^{n} - 2 \text{ choix}}$$

(c) Le nombre de matins avec thé est égal à celui des matins avec café, donc à $\frac{n}{2}$ : c'est impossible si $n$ est impair. Si $n$ est pair, une liste convenable est déterminée par l'ensemble des matins où l'on boit du thé, qui est une partie à $\frac{n}{2}$ éléments de $\llbracket 1\,,n \rrbracket$, et toute partie de ce cardinal convient. $$\boxed{\binom{n}{n/2} \text{ choix si } n \text{ est pair}, \qquad 0 \text{ si } n \text{ est impair}}$$

(d) La boisson du premier matin se choisit de deux façons, et chaque boisson suivante est imposée, puisqu'elle doit différer de la précédente : les seules listes possibles sont $TCTC\cdots$ et $CTCT\cdots$. $$\boxed{2 \text{ choix}}$$ Les résultats ont été contrôlés par énumération pour $n \leqslant 8$. Pour $n = 4$, par exemple, on trouve $16$, $14$, $\binom{4}{2} = 6$ et $2$ choix.