Exercice 1

Un élément de $E$ est déterminé par la liste de ses sept chiffres, lus de gauche à droite, et toute $7$-liste d'éléments de $\llbracket 1\,,9 \rrbracket$ est la liste des chiffres d'un unique élément de $E$ : comme le chiffre $0$ est exclu, aucun nombre ne commence par un zéro « parasite ». L'application qui associe à un nombre la liste de ses chiffres est donc une bijection de $E$ sur $\llbracket 1\,,9 \rrbracket^{7}$, et la proposition 2 (iv) donne $$\boxed{|E| = 9^{7} = 4\,782\,969}$$

(a) Par la même bijection, $E_{1}$ correspond aux $7$-listes d'éléments distincts de $\llbracket 1\,,9 \rrbracket$, dont le théorème 1 donne le nombre : $$\boxed{|E_{1}| = A_{9}^{7} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = \frac{9!}{2!} = 181\,440}$$

(b) Un nombre est pair si et seulement si son chiffre des unités l'est, c'est-à-dire appartient à $\{2, 4, 6, 8\}$. Les éléments de $E_{2}$ correspondent aux listes de $\llbracket 1\,,9 \rrbracket^{6} \times \{2, 4, 6, 8\}$ : $$\boxed{|E_{2}| = 9^{6} \times 4 = 2\,125\,764}$$

(c) Une liste strictement croissante est formée de sept chiffres distincts, et elle est déterminée par l'ensemble de ses chiffres : il n'y a qu'une façon de ranger sept chiffres distincts dans l'ordre croissant. L'application qui associe à un élément de $E_{3}$ l'ensemble de ses chiffres est donc une bijection de $E_{3}$ sur l'ensemble des parties à sept éléments de $\llbracket 1\,,9 \rrbracket$, et le théorème 2 donne $$\boxed{|E_{3}| = \binom{9}{7} = \binom{9}{2} = 36}$$ À retenir. Les questions (a) et (c) comptent les mêmes chiffres, distincts, mais l'ordre est libre dans la première et imposé dans la seconde : on passe de l'une à l'autre en divisant par $7! = 5\,040$, puisque $\frac{181\,440}{5\,040} = 36$. C'est exactement la démonstration du théorème 2. Une énumération exhaustive des $9^{7}$ listes confirme les quatre résultats.