Exercice 47

Pour deux événements $A$ et $B$ de $\Omega_{n}$, muni de la probabilité uniforme, on a $$A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff \frac{|A \cap B|}{n} = \frac{|A|}{n} \cdot \frac{|B|}{n} \iff \boxed{n\,|A \cap B| = |A|\,|B|}$$ et $A$ est non trivial si et seulement si $1 \leqslant |A| \leqslant n - 1$.

1. Supposons $n$ premier, et soit $A$, $B$ deux événements non triviaux. Si $A$ et $B$ étaient indépendants, $n$ diviserait le produit $|A|\,|B|$, donc l'un des facteurs par le lemme d'Euclide (chapitre 12, proposition 9 (ii)). C'est impossible, puisque $|A|$ et $|B|$ appartiennent à $\llbracket 1\,,n - 1 \rrbracket$. $$\boxed{n \text{ premier} \implies \text{deux événements non triviaux de } \Omega_{n} \text{ ne sont jamais indépendants}}$$

2. Supposons $n = ab$ avec $a$, $b \geqslant 2$. On pose $$\boxed{A = \{b, 2b, \dots, ab\} \quad (\text{les multiples de } b), \qquad B = \llbracket 1\,,b \rrbracket}$$ On a $|A| = a$ et $|B| = b$, tous deux dans $\llbracket 1\,,n - 1 \rrbracket$ puisque $a$, $b \geqslant 2$, et $A \cap B = \{b\}$. Ainsi $n\,|A \cap B| = n = ab = |A|\,|B|$ : les événements $A$ et $B$, de probabilités $\frac{1}{b}$ et $\frac{1}{a}$, sont non triviaux et indépendants. Pour $n = 6$, avec $a = 3$ et $b = 2$, on obtient $A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{1, 2\}$ : « être pair » est indépendant de « être au plus $2$ ».

L'idée de la construction est d'écrire chaque $k \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$ de façon unique sous la forme $k = qb + s$, avec $q \in \llbracket 0\,,a - 1 \rrbracket$ et $s \in \llbracket 1\,,b \rrbracket$ (division euclidienne de $k - 1$ par $b$, chapitre 12, théorème 1) : sous la probabilité uniforme, le couple $(q, s)$ est uniforme sur $\llbracket 0\,,a - 1 \rrbracket \times \llbracket 1\,,b \rrbracket$, et deux événements qui ne portent l'un que sur $s$, l'autre que sur $q$, sont indépendants. L'événement $A$ est $(s = b)$ et l'événement $B$ est $(q = 0)$.

À retenir. L'indépendance est une propriété numérique, $\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$, et elle dépend de l'arithmétique des cardinaux : sur un univers uniforme de cardinal premier, aucune paire d'événements non triviaux n'y satisfait. C'est la même dépendance que dans le premier exemple qui suit la proposition 10, où l'indépendance de « divisible par $2$ » et « divisible par $3$ » vaut sur $\llbracket 1\,,60 \rrbracket$ et pas sur $\llbracket 1\,,100 \rrbracket$.