Exercice 48

1. Par la proposition 10 (iii), la famille $(B_{1}, \dots, B_{n})$, obtenue en remplaçant certains $A_{k}$ par leurs contraires, est formée d'événements mutuellement indépendants. Chaque $\mathrm{P}(B_{k})$ vaut $\mathrm{P}(A_{k})$ ou $1 - \mathrm{P}(A_{k})$, qui appartiennent à $\left]0\,,1\right[$. Donc $$\mathrm{P}(B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}) = \mathrm{P}(B_{1}) \cdots \mathrm{P}(B_{n}) > 0, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{B_{1} \cap \cdots \cap B_{n} \neq \varnothing}$$ puisque $\mathrm{P}(\varnothing) = 0$.

2. Soit $(B_{1}, \dots, B_{n})$ et $(B'_{1}, \dots, B'_{n})$ deux choix différents : il existe $k$ tel que $B_{k} \neq B'_{k}$, c'est-à-dire, quitte à échanger les rôles, $B_{k} = A_{k}$ et $B'_{k} = \overline{A_{k}}$. Les deux intersections sont contenues respectivement dans $A_{k}$ et dans $\overline{A_{k}}$, qui sont disjoints : $$\boxed{(B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}) \cap (B'_{1} \cap \cdots \cap B'_{n}) = \varnothing}$$

3. Un choix est une application de $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ dans un ensemble à deux éléments ; il y en a $2^{n}$ (proposition 3). Les $2^{n}$ intersections correspondantes sont des parties de $\Omega$ non vides (question 1) et deux à deux disjointes (question 2). En choisissant un élément dans chacune, on obtient $2^{n}$ éléments distincts de $\Omega$ : $$\boxed{|\Omega| \geqslant 2^{n}}$$ Cas d'égalité. On prend $\Omega = \{0, 1\}^{n}$, muni de la probabilité uniforme, et $A_{k} = \{\omega \in \Omega \mid \omega_{k} = 1\}$. Par la proposition 17, les coordonnées sont mutuellement indépendantes, de loi $\mathcal{B}(\frac{1}{2})$, donc les $A_{k}$ sont mutuellement indépendants (proposition 15), de probabilité $\frac{1}{2} \in \left]0\,,1\right[$, et $|\Omega| = 2^{n}$. Chaque intersection $B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}$ y est réduite à une issue.

À retenir. Les questions 1 et 2 montrent que les $2^{n}$ intersections forment un système complet d'événements, tous non vides : $n$ événements indépendants non triviaux « découpent » l'univers en au moins $2^{n}$ morceaux. Modéliser $n$ épreuves indépendantes et non déterministes demande donc un univers d'au moins $2^{n}$ issues ; c'est l'analogue probabiliste de l'exercice 13, où $m$ parties séparant $n$ points imposaient $n \leqslant 2^{m}$.