Exercice 49

On modélise les $n$ lancers par des variables $X_{1}$, …, $X_{n}$ mutuellement indépendantes de loi uniforme sur $\llbracket 0\,,9 \rrbracket$, ce que permet la proposition 17.

1. Les événements $(X_{k} \neq 6)$ sont mutuellement indépendants (proposition 15), de probabilité $\frac{9}{10}$. La probabilité qu'aucun $6$ n'apparaisse vaut donc $\big(\frac{9}{10}\big)^{n}$, qui tend vers $0$ (suite géométrique de raison appartenant à $\left]-1\,,1\right[$, chapitre 7). $$\boxed{\mathrm{P}(\text{au moins un } 6) = 1 - \Big(\frac{9}{10}\Big)^{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$$ Pour $n = 100$, la probabilité de n'obtenir aucun $6$ vaut déjà $0{,}9^{100} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-5}$.

2. On note $m = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ et, pour $k \in \llbracket 1\,,m \rrbracket$, $B_{k} = (X_{2k-1} = 6) \cap (X_{2k} = 6)$. Par indépendance, $\mathrm{P}(B_{k}) = \frac{1}{100}$. L'événement $B_{k}$ s'écrit $(Z_{k} = 1)$, où $Z_{k}$ est l'indicatrice de $\{(6, 6)\}$ évaluée en $(X_{2k-1}, X_{2k})$ : c'est une fonction du paquet $(X_{2k-1}, X_{2k})$, et ces paquets sont disjoints. Par le lemme des coalitions (théorème 7), les variables $Z_{1}$, …, $Z_{m}$ sont mutuellement indépendantes, donc les événements $B_{1}$, …, $B_{m}$ aussi (proposition 15), ainsi que leurs contraires (proposition 10 (iii)).

Si deux $6$ consécutifs n'apparaissent jamais, aucun $B_{k}$ n'est réalisé : $$\mathrm{P}(\text{jamais deux } 6 \text{ consécutifs}) \leqslant \mathrm{P}\big(\overline{B_{1}} \cap \cdots \cap \overline{B_{m}}\big) = \Big(\frac{99}{100}\Big)^{m},$$

$$\boxed{\mathrm{P}(\text{deux } 6 \text{ consécutifs au moins une fois}) \geqslant 1 - \Big(\frac{99}{100}\Big)^{\lfloor n/2 \rfloor} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$$ puisque $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ tend vers $+\infty$. Pour $n = 1\,000$, la minoration vaut $1 - 0{,}99^{500} \approx 0{,}9934$, et la valeur exacte, calculée en suivant à chaque rang si le dernier lancer est un $6$, vaut $0{,}9999$ : la minoration est grossière, mais elle suffit pour la limite.

Piège. Les événements « les lancers $j$ et $j + 1$ donnent $6$ », pour $j \in \llbracket 1\,,n - 1 \rrbracket$, ne sont pas indépendants : deux d'entre eux d'indices consécutifs partagent un lancer, et la formule $\big(\frac{99}{100}\big)^{n-1}$ serait fausse. C'est pour obtenir des événements indépendants que l'on se restreint aux paquets disjoints $\{2k - 1, 2k\}$, en perdant de l'information, mais sans perdre la limite.

3. Le même raisonnement s'applique à n'importe quelle suite de chiffres fixée à l'avance, de longueur $\ell$ : en découpant les lancers en $\lfloor \frac{n}{\ell} \rfloor$ paquets disjoints de $\ell$ lancers consécutifs, la probabilité qu'elle n'apparaisse jamais est au plus $\big(1 - 10^{-\ell}\big)^{\lfloor n/\ell \rfloor}$, qui tend vers $0$. Un singe tapant au hasard sur un clavier, chaque touche étant indépendante des précédentes, finit donc presque certainement par écrire n'importe quel texte donné, par exemple une œuvre de Shakespeare, codée en chiffres. L'image a été employée par Émile Borel en 1913, dans un article du Journal de Physique sur la mécanique statistique. Le calcul montre aussi pourquoi c'est sans conséquence pratique : il faut un nombre de lancers de l'ordre de $10^{\ell}$, astronomique dès que le texte a quelques dizaines de caractères.