Exercice 46

On modélise les $n$ lancers par $\Omega = \{0, 1\}^{n}$, muni de la probabilité uniforme, $1$ codant pile : c'est le modèle de la proposition 17, où chaque coordonnée $X_{k}$ suit la loi $\mathcal{B}(\frac{1}{2})$, et les $X_{k}$ sont mutuellement indépendantes. On a $A_{k} = (X_{k} = 1)$ pour $k \geqslant 1$, et $A_{0} = (X_{1} + \cdots + X_{n} \text{ pair})$.

Probabilités. On a $\mathrm{P}(A_{k}) = \frac{1}{2}$ pour $k \geqslant 1$. L'application qui change la première coordonnée d'une issue est une bijection de $\Omega$ qui change la parité du nombre de piles : elle échange $A_{0}$ et $\overline{A_{0}}$, qui ont donc le même cardinal, et $\mathrm{P}(A_{0}) = \frac{1}{2}$.

La famille entière n'est pas indépendante. L'événement $A_{1} \cap \cdots \cap A_{n}$ est réduit à l'issue $(1, \dots, 1)$, qui compte $n$ piles. Il est contenu dans $A_{0}$ si $n$ est pair, et disjoint de $A_{0}$ si $n$ est impair, d'où $$\boxed{\mathrm{P}(A_{0} \cap A_{1} \cap \cdots \cap A_{n}) = \begin{cases} \frac{1}{2^{n}} & \text{si } n \text{ est pair} \\ 0 & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases} \neq \frac{1}{2^{n+1}} = \mathrm{P}(A_{0})\,\mathrm{P}(A_{1}) \cdots \mathrm{P}(A_{n})}$$ Les événements $A_{0}$, …, $A_{n}$ ne sont donc pas mutuellement indépendants : les résultats des $n$ lancers déterminent la parité du nombre de piles.

Les sous-familles de $n$ événements. Une sous-famille de $n$ événements s'obtient en retirant l'un des $A_{j}$.

• Si l'on retire $A_{0}$, il reste $A_{1}$, …, $A_{n}$, qui sont mutuellement indépendants par la proposition 15, puisque les $X_{k}$ le sont.

• Si l'on retire $A_{j}$ avec $j \geqslant 1$, soit $J$ une partie de $\llbracket 0\,,n \rrbracket \setminus \{j\}$. Si $0 \notin J$, l'égalité demandée par la définition de l'indépendance mutuelle résulte encore de l'indépendance des $X_{k}$. Sinon, on écrit $J = \{0\} \cup J'$ avec $J' \subset \llbracket 1\,,n \rrbracket \setminus \{j\}$, et l'on note $m = |J'|$. Les issues de $\bigcap_{i \in J'} A_{i}$ ont leurs $m$ coordonnées d'indices dans $J'$ égales à $1$, les $n - m$ autres étant libres ; il y en a $2^{n - m}$. Parmi elles, celles de $A_{0}$ sont celles dont les coordonnées libres comptent un nombre de $1$ de la parité de $m$. Comme $j$ est l'un des indices libres, changer la coordonnée d'indice $j$ échange ces issues et les autres, qui sont donc en nombre égal : il y en a $2^{n - m - 1}$, et $$\mathrm{P}\Big(A_{0} \cap \bigcap_{i \in J'} A_{i}\Big) = \frac{2^{n - m - 1}}{2^{n}} = \frac{1}{2^{m + 1}} = \mathrm{P}(A_{0}) \prod_{i \in J'} \mathrm{P}(A_{i}).$$

$$\boxed{\text{toute sous-famille de } n \text{ événements parmi } A_{0}, \dots, A_{n} \text{ est mutuellement indépendante}}$$ Pour $n = 2$, l'événement $A_{0}$, « deux piles ou deux faces », est l'événement $C$ « les deux pièces donnent le même côté » du second exemple qui suit la proposition 10 : on retrouve exactement cet exemple, avec trois événements deux à deux indépendants et non mutuellement indépendants. L'exercice le prolonge à $n + 1$ événements dont toutes les sous-familles strictes, et pas seulement les paires, sont indépendantes.

À retenir. Contrôler l'indépendance de toutes les sous-familles strictes ne dispense pas de contrôler la famille entière : la définition de l'indépendance mutuelle porte sur toutes les parties $J$ de l'ensemble des indices, et une seule égalité manquante suffit à la mettre en défaut.