Exercice 45

1. Par définition de $\mathrm{P}_{C}$ (section 21.4.1), on a $\mathrm{P}_{C}(A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap C)}{\mathrm{P}(C)}$, et de même pour $B$ et pour $A \cap B$. L'inégalité $\mathrm{P}_{C}(A \cap B) > \mathrm{P}_{C}(A)\,\mathrm{P}_{C}(B)$ s'écrit donc $$\frac{\mathrm{P}(A \cap B \cap C)}{\mathrm{P}(C)} > \frac{\mathrm{P}(A \cap C)\,\mathrm{P}(B \cap C)}{\mathrm{P}(C)^{2}},$$ soit, en multipliant par $\mathrm{P}(C)^{2} > 0$, $$\boxed{\mathrm{P}(A \cap B \cap C)\,\mathrm{P}(C) > \mathrm{P}(A \cap C)\,\mathrm{P}(B \cap C)}$$ La corrélation négative sachant $C$ s'écrit de même avec l'inégalité stricte dans l'autre sens. Pour $C = \Omega$, on retrouve la définition de l'énoncé.

2. On prend $\Omega = \llbracket 1\,,9 \rrbracket$, muni de la probabilité uniforme, et $$\boxed{A = \{1, 2, 3, 4\}, \qquad B = \{1, 2, 5, 6\}, \qquad C = \{3, 5, 7, 8, 9\}}$$ Sans conditionnement. On a $\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = \frac{4}{9}$ et $A \cap B = \{1, 2\}$, d'où $$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{2}{9} = \frac{18}{81} > \frac{16}{81} = \mathrm{P}(A)\,\mathrm{P}(B) : \qquad A \text{ et } B \text{ sont positivement corrélés.}$$ Sachant $C$. On a $\mathrm{P}(C) = \frac{5}{9} \in \left]0\,,1\right[$, $A \cap C = \{3\}$, $B \cap C = \{5\}$ et $A \cap B \cap C = \varnothing$. Le critère de la question 1 donne $0 \times \frac{5}{9} < \frac{1}{9} \times \frac{1}{9}$ : la corrélation est négative. En probabilités conditionnelles, $\mathrm{P}_{C}(A) = \mathrm{P}_{C}(B) = \frac{1}{5}$ et $\mathrm{P}_{C}(A \cap B) = 0$, et l'écart vaut $0 - \frac{1}{25} = -\frac{1}{25}$.

Sachant $\overline{C}$. On a $\overline{C} = \{1, 2, 4, 6\}$, $A \cap \overline{C} = \{1, 2, 4\}$, $B \cap \overline{C} = \{1, 2, 6\}$ et $A \cap B \cap \overline{C} = \{1, 2\}$, d'où $$\mathrm{P}_{\overline{C}}(A \cap B) = \frac{1}{2} = \frac{8}{16} < \frac{9}{16} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \mathrm{P}_{\overline{C}}(A)\,\mathrm{P}_{\overline{C}}(B).$$

$$\boxed{\begin{array}{l} \mathrm{P}(A \cap B) - \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B) = \frac{2}{81} > 0, \\[4pt] \mathrm{P}_{C}(A \cap B) - \mathrm{P}_{C}(A)\mathrm{P}_{C}(B) = -\frac{1}{25} < 0, \\[4pt] \mathrm{P}_{\overline{C}}(A \cap B) - \mathrm{P}_{\overline{C}}(A)\mathrm{P}_{\overline{C}}(B) = -\frac{1}{16} < 0 \end{array}}$$ Le mécanisme se lit sur les chiffres : $A$ et $B$ sont tous deux rares sachant $C$ (probabilité $\frac{1}{5}$) et fréquents sachant $\overline{C}$ (probabilité $\frac{3}{4}$). Savoir que $A$ est réalisé rend $\overline{C}$ plus probable, donc $B$ aussi : c'est par l'intermédiaire de $C$ que $A$ et $B$ semblent liés positivement, alors qu'à $C$ fixé ils se repoussent.

3. Considérons une population de malades, $C$ désignant l'événement « la forme de la maladie est grave », $A$ « le patient a reçu le traitement » et $B$ « le patient guérit ». Si les médecins réservent le traitement aux formes bénignes, qui guérissent souvent d'elles-mêmes, la situation peut être exactement celle de la question 2 : sur l'ensemble des patients, les traités guérissent plus souvent que les autres, et l'on conclurait à l'efficacité du traitement, alors que, parmi les formes graves comme parmi les formes bénignes, il diminue les chances de guérison.

Piège. L'erreur la plus répandue est de croire qu'une corrélation observée sur toute une population se retrouve dans chacune des sous-populations d'un système complet $(C, \overline{C})$, ou l'inverse. La formule des probabilités totales (théorème 5) écrit bien $\mathrm{P}(A \cap B)$, $\mathrm{P}(A)$ et $\mathrm{P}(B)$ comme des moyennes pondérées par $\mathrm{P}(C)$ et $\mathrm{P}(\overline{C})$, mais le produit $\mathrm{P}(A)\,\mathrm{P}(B)$ n'est pas la moyenne des produits : c'est ce défaut de linéarité qui autorise le renversement.