Exercice 19

Par l'exercice 7 de la feuille du chapitre 17, l'ordre d'une permutation différente de l'identité est le ppcm des longueurs des cycles de sa décomposition (chapitre 17, théorème 1), et l'identité est d'ordre $1$. Une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_{2p}$ est donc d'ordre $p$ si et seulement si $\sigma \neq \mathrm{id}$ et le ppcm des longueurs de ses cycles vaut $p$. Chaque longueur divise alors $p$ et vaut au moins $2$ : comme $p$ est premier, tous les cycles sont de longueur $p$. Leurs supports étant disjoints dans un ensemble à $2p$ éléments, il y a un ou deux cycles. Réciproquement, une permutation formée d'un ou de deux $p$-cycles à supports disjoints est d'ordre $p$.

$\triangleright$ Nombre de $p$-cycles de support donné. Soit $X$ un ensemble à $p$ éléments. L'application qui associe à une $p$-liste $(a_{1}, \dots, a_{p})$ d'éléments distincts de $X$ le cycle $(a_{1}\,a_{2}\,\cdots\,a_{p})$ est surjective sur l'ensemble des $p$-cycles de support $X$. Deux listes donnent le même cycle $c$ si et seulement si l'une se déduit de l'autre par une rotation, puisque $c$ impose $a_{i+1} = c(a_{i})$ : une fois le premier terme choisi parmi les $p$ éléments de $X$, toute la liste est déterminée. Les fibres ont $p$ éléments, et le lemme des bergers donne $\frac{p!}{p} = (p - 1)!$ cycles.

$\triangleright$ Un seul $p$-cycle. On choisit son support, de $\binom{2p}{p}$ façons, puis le cycle, de $(p - 1)!$ façons : $\binom{2p}{p}(p - 1)!$ permutations.

$\triangleright$ Deux $p$-cycles. Les deux supports forment une partition $\{X, \overline{X}\}$ de $\llbracket 1\,,2p \rrbracket$ en deux parties à $p$ éléments. L'application $X \mapsto \{X, \overline{X}\}$ a des fibres à deux éléments, $X$ et $\overline{X}$, qui sont distincts : il y a $\frac{1}{2}\binom{2p}{p}$ telles partitions. Pour chacune, on choisit un $p$-cycle sur chaque partie, de $(p - 1)!^{2}$ façons, et l'unicité de la décomposition en cycles (chapitre 17, théorème 1) assure que des choix différents donnent des permutations différentes. $$\boxed{\binom{2p}{p}(p - 1)! + \frac{1}{2}\binom{2p}{p}(p - 1)!^{2} = \frac{(2p)!}{p\cdot p!} + \frac{(2p)!}{2p^{2}} \text{ éléments d'ordre } p}$$ Pour $p = 2$, on trouve $\frac{24}{4} + \frac{24}{8} = 6 + 3 = 9$ : ce sont les $6$ transpositions et les $3$ doubles transpositions $(1\,2)(3\,4)$, $(1\,3)(2\,4)$, $(1\,4)(2\,3)$ de $\mathfrak{S}_{4}$ ✓. Pour $p = 3$, on trouve $40 + 40 = 80$, et pour $p = 5$, $6\,048 + 72\,576 = 78\,624$. Les valeurs pour $p = 2$ et $p = 3$ ont été confirmées par énumération de $\mathfrak{S}_{4}$ et de $\mathfrak{S}_{6}$.

Piège. L'erreur la plus répandue est de compter $\binom{2p}{p}(p - 1)!^{2}$ permutations formées de deux $p$-cycles, en choisissant « le support du premier cycle » : les deux cycles commutent et jouent le même rôle, et chaque permutation est comptée deux fois. Pour $p = 2$, on trouverait $6$ doubles transpositions au lieu de $3$.