Exercice 75

1. On note $p_{j} = \mathrm{P}(X = j)$ pour $j \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$, et $m_{k} = \mathrm{E}(X^{k})$. Par la formule de transfert, $$m_{k} = \sum_{j=1}^{n} j^{k}p_{j}, \qquad k \in \llbracket 0\,,n - 1 \rrbracket.$$ C'est un système linéaire de $n$ équations aux $n$ inconnues $p_{1}$, …, $p_{n}$, dont la matrice $\big(j^{k}\big)_{0 \leqslant k \leqslant n-1,\ 1 \leqslant j \leqslant n}$ est la transposée de la matrice de Vandermonde des réels $1$, $2$, …, $n$. Son déterminant, égal à celui de sa transposée (chapitre 17, théorème 6 (iv)), vaut $\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (j - i) \neq 0$ (chapitre 17, proposition 12), puisque ces réels sont distincts. La matrice est inversible, et le système a une unique solution : $\boxed{\text{la loi de } X \text{ est déterminée par } \mathrm{E}(X^{0}), \dots, \mathrm{E}(X^{n-1})}$. Deux variables à valeurs dans $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ qui ont les mêmes moments d'ordre $0$ à $n - 1$ ont la même loi.

2. Soit $x_{1}$, …, $x_{m}$ les éléments, deux à deux distincts, de l'ensemble fini $X(\Omega) \cup Y(\Omega')$, où $\Omega'$ est l'univers sur lequel $Y$ est définie. Soit $i \in \llbracket 1\,,m \rrbracket$, et $L_{i}$ le polynôme interpolateur de Lagrange tel que $L_{i}(x_{j}) = 1$ si $j = i$ et $0$ sinon (chapitre 13, théorème 13). Par la formule de transfert, en sommant sur les $x_{j}$ et en ajoutant des termes nuls, $$\mathrm{E}\big(L_{i}(X)\big) = \sum_{j=1}^{m} L_{i}(x_{j})\mathrm{P}(X = x_{j}) = \mathrm{P}(X = x_{i}),$$ et de même $\mathrm{E}\big(L_{i}(Y)\big) = \mathrm{P}(Y = x_{i})$. Si $L_{i} = \sum_{k} a_{k}X^{k}$, la linéarité de l'espérance et l'hypothèse donnent $$\mathrm{E}\big(L_{i}(X)\big) = \sum_{k} a_{k}\mathrm{E}(X^{k}) = \sum_{k} a_{k}\mathrm{E}(Y^{k}) = \mathrm{E}\big(L_{i}(Y)\big).$$ Ainsi $\mathrm{P}(X = x_{i}) = \mathrm{P}(Y = x_{i})$ pour tout $i$, et $$\boxed{X \text{ et } Y \text{ ont la même loi}}$$ On n'a utilisé que les moments d'ordre au plus $m - 1$, puisque $\deg L_{i} \leqslant m - 1$.

Piège. Les premiers moments ne suffisent pas. Supposons que $X$ suive la loi uniforme sur $\{-1, 1\}$, et que $Y$ prenne les valeurs $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ avec la probabilité $\frac{1}{4}$ et la valeur $0$ avec la probabilité $\frac{1}{2}$. Alors $\mathrm{E}(X) = \mathrm{E}(Y) = 0$ et $\mathrm{E}(X^{2}) = \mathrm{E}(Y^{2}) = 1$, mais $\mathrm{E}(X^{4}) = 1 \neq 2 = \mathrm{E}(Y^{4})$. L'erreur la plus répandue est de croire que l'espérance et la variance déterminent la loi ; il faut autant de moments que de valeurs possibles, moins une.