Exercice 74

Soit $\omega$ une issue. Comme $N(\omega) \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$, l'indicatrice $\mathbf{1}_{(N \geqslant i)}(\omega)$ vaut $1$ pour $i \leqslant N(\omega)$ et $0$ pour $i > N(\omega)$, d'où l'égalité suggérée : $$S = \sum_{i=1}^{n} X_{i}\,\mathbf{1}_{(N \geqslant i)}.$$ Pour chaque $i$, la variable $\mathbf{1}_{(N \geqslant i)}$ est une fonction de $N$, donc elle est indépendante de $X_{i}$ (proposition 16). Par la proposition 20, $\mathrm{E}\big(X_{i}\,\mathbf{1}_{(N \geqslant i)}\big) = \mathrm{E}(X_{i})\mathrm{P}(N \geqslant i) = p\,\mathrm{P}(N \geqslant i)$, et la linéarité donne $$\mathrm{E}(S) = p\sum_{i=1}^{n} \mathrm{P}(N \geqslant i).$$ Enfin, en appliquant le même raisonnement à la constante $1$ au lieu des $X_{i}$, $N = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{(N \geqslant i)}$, donc $\mathrm{E}(N) = \sum_{i=1}^{n} \mathrm{P}(N \geqslant i)$. Ainsi $$\boxed{\mathrm{E}(S) = p\,\mathrm{E}(N)}$$ Pour $n = 3$, avec $\mathrm{P}(N = 1) = \frac{1}{2}$, $\mathrm{P}(N = 2) = \frac{1}{3}$ et $\mathrm{P}(N = 3) = \frac{1}{6}$, le calcul exact sur l'univers produit donne $\mathrm{E}(S) = \frac{5}{3}p$ pour $p = \frac{1}{3}$ et $p = \frac{1}{2}$ ✓.

Le résultat est intuitif : on effectue en moyenne $\mathrm{E}(N)$ épreuves, qui réussissent chacune avec la probabilité $p$. Il n'est pourtant pas évident, puisque le nombre de termes de la somme est lui-même aléatoire.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'écrire $\mathrm{E}(S) = \sum_{i=1}^{\mathrm{E}(N)} \mathrm{E}(X_{i})$, ce qui n'a pas de sens si $\mathrm{E}(N)$ n'est pas entier, ou d'appliquer la linéarité à une somme dont le nombre de termes dépend de $\omega$. L'écriture avec les indicatrices ramène $S$ à une somme d'un nombre fixe de termes. L'indépendance entre $N$ et les $X_{i}$ est indispensable : si l'on arrête les épreuves au premier succès, $N$ dépend des $X_{i}$, et le résultat tombe en défaut.