Exercice 73

On prend pour univers l'ensemble des parties à $r$ éléments de l'ensemble des $2n$ animaux, muni de la probabilité uniforme ; il a $\tbinom{2n}{r}$ éléments (théorème 2). On applique la méthode des indicatrices (section 21.6.3). Pour $i \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$, soit $A_{i}$ l'événement « les deux animaux de l'espèce $i$ sont choisis ». Alors $N = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{A_{i}}$. Une partie favorable à $A_{i}$ est formée des deux animaux de l'espèce $i$ et de $r - 2$ animaux choisis parmi les $2n - 2$ autres : $$\mathrm{P}(A_{i}) = \frac{\binom{2n - 2}{r - 2}}{\binom{2n}{r}} = \frac{(2n - 2)!}{(r - 2)!\,(2n - r)!} \cdot \frac{r!\,(2n - r)!}{(2n)!} = \frac{r(r - 1)}{2n(2n - 1)}.$$ Par linéarité (théorème 9 (i) et (iv)), $$\boxed{\mathrm{E}(N) = n\,\frac{r(r - 1)}{2n(2n - 1)} = \frac{r(r - 1)}{2(2n - 1)}}$$ Pour $r = 2n$, tous les animaux sont choisis, et l'on retrouve $\mathrm{E}(N) = n$ ; pour $r = 2$, $\mathrm{E}(N) = \frac{1}{2n - 1}$, probabilité que le second animal soit le partenaire du premier. Les valeurs ont été vérifiées par énumération pour $n \leqslant 4$ et tous les $r$ ✓.

À retenir. Les événements $A_{i}$ ne sont pas indépendants, et la loi de $N$ est compliquée ; la linéarité de l'espérance n'en demande pas tant. C'est tout l'intérêt de la méthode des indicatrices.