Exercice 72

1. On note $q = 1 - p$. Par la formule de transfert, puis la formule du binôme, $$\mathrm{E}\big((-1)^{X}\big) = \sum_{k=0}^{2n} (-1)^{k}\binom{2n}{k}p^{k}q^{2n-k} = (q - p)^{2n}, \qquad \boxed{\mathrm{E}\big((-1)^{X}\big) = (1 - 2p)^{2n}}$$ Comme $(-1)^{X} = \mathbf{1}_{(X \text{ pair})} - \mathbf{1}_{(X \text{ impair})}$, on en déduit $\mathrm{P}(X \text{ pair}) = \frac{1 + (1 - 2p)^{2n}}{2}$, toujours au moins égal à $\frac{1}{2}$, puisque l'exposant $2n$ est pair.

2. Si $X$ est pair, $Y = \frac{X}{2}$ ; si $X$ est impair, $Y = \frac{X - 1}{2}$. Dans les deux cas, $Y = \frac{1}{2}\big(X - \frac{1 - (-1)^{X}}{2}\big)$, puisque $\frac{1 - (-1)^{X}}{2}$ vaut $0$ si $X$ est pair et $1$ sinon : $$\boxed{Y = \frac{X}{2} - \frac{1}{4} + \frac{(-1)^{X}}{4}}$$ Par linéarité de l'espérance (théorème 9 (i)), avec $\mathrm{E}(X) = 2np$ (proposition 19) et la question 1, $$\boxed{\mathrm{E}(Y) = np - \frac{1 - (1 - 2p)^{2n}}{4}}$$ Pour $p = \frac{1}{2}$, on trouve $\mathrm{E}(Y) = \frac{n}{2} - \frac{1}{4}$. Ces formules ont été vérifiées sur la loi exacte pour $n \leqslant 4$ et trois valeurs de $p$ ✓.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'écrire $\mathrm{E}\big(\lfloor\frac{X}{2}\rfloor\big) = \lfloor\frac{\mathrm{E}(X)}{2}\rfloor = \lfloor np \rfloor$ : la partie entière n'est pas linéaire. L'astuce consiste à exprimer la partie entière comme une fonction affine de $X$ et de $(-1)^{X}$, dont on sait calculer les espérances.