Exercice 71

1. Il existe $c > 0$ tel que $\mathrm{P}(X = k) = ck$ pour $k \in \llbracket 1\,,6 \rrbracket$. La somme des probabilités vaut $1$, donc $21c = 1$ : $$\boxed{\mathrm{P}(X = k) = \frac{k}{21}, \quad k \in \llbracket 1\,,6 \rrbracket}, \qquad \mathrm{E}(X) = \sum_{k=1}^{6} \frac{k^{2}}{21} = \frac{91}{21}, \qquad \boxed{\mathrm{E}(X) = \frac{13}{3} \approx 4{,}33}$$ Pour un dé équilibré, l'espérance vaut $\frac{7}{2} = 3{,}5$ (proposition 19) : le dé pipé favorise les grandes faces, et sa moyenne est plus élevée.

2. La variable $Y = \frac{1}{X}$ prend les valeurs $\frac{1}{k}$, deux à deux distinctes, et $(Y = \frac{1}{k}) = (X = k)$ (proposition 13) : $$\boxed{\mathrm{P}\Big(Y = \frac{1}{k}\Big) = \frac{k}{21}, \quad k \in \llbracket 1\,,6 \rrbracket}, \qquad \mathrm{E}(Y) = \sum_{k=1}^{6} \frac{1}{k} \cdot \frac{k}{21} = \frac{6}{21}, \qquad \boxed{\mathrm{E}(Y) = \frac{2}{7}}$$ On a $\frac{2}{7} \approx 0{,}286$ et $\frac{1}{\mathrm{E}(X)} = \frac{3}{13} \approx 0{,}231$ : $\boxed{\mathrm{E}\big(\tfrac{1}{X}\big) > \tfrac{1}{\mathrm{E}(X)}}$. C'est le phénomène de l'exercice 70, pour la fonction convexe $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\left]0\,,+\infty\right[$ : l'identité $\frac{1}{x} - \frac{1}{m} + \frac{x - m}{m^{2}} = \frac{(x - m)^{2}}{xm^{2}}$, avec $m = \frac{13}{3}$, donne l'inégalité, stricte puisque $X$ n'est pas constante.