Exercice 70

1. Par la formule de transfert (théorème 10), puis la somme des carrés du chapitre 3, en posant $j = k - 1$, $$\mathrm{E}\big((X - 1)^{2}\big) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} (k - 1)^{2} = \frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1} j^{2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}, \qquad \boxed{\mathrm{E}\big((X - 1)^{2}\big) = \frac{(n - 1)(2n - 1)}{6}}$$ De même, avec la somme géométrique de raison $\mathrm{e} \neq 1$, $$\boxed{\mathrm{E}\big(\mathrm{e}^{X}\big) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \mathrm{e}^{k} = \frac{\mathrm{e}\,(\mathrm{e}^{n} - 1)}{n(\mathrm{e} - 1)}}$$ Pour $n = 1$, on retrouve $\mathrm{E}\big((X - 1)^{2}\big) = 0$ et $\mathrm{E}(\mathrm{e}^{X}) = \mathrm{e}$, puisque $X = 1$ ✓.

2. On note $q = 1 - p$. Par la formule de transfert, l'égalité de l'énoncé, puis le changement d'indice $j = k + 1$, $$\mathrm{E}(Y) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k + 1}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = \frac{1}{n + 1}\sum_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k + 1}p^{k}q^{n-k} = \frac{1}{(n + 1)p}\sum_{j=1}^{n+1} \binom{n + 1}{j}p^{j}q^{n+1-j}.$$ La dernière somme est celle de la formule du binôme (théorème 3), privée de son terme d'indice $j = 0$, qui vaut $q^{n+1}$ : $$\boxed{\mathrm{E}\Big(\frac{1}{X + 1}\Big) = \frac{1 - (1 - p)^{n+1}}{(n + 1)p}}$$ L'égalité de l'énoncé est la formule du pion (chapitre 3, proposition 9) : $$\frac{1}{k + 1}\binom{n}{k} = \frac{n!}{(k + 1)!\,(n - k)!} = \frac{1}{n + 1}\binom{n + 1}{k + 1}.$$

On n'a pas $\mathrm{E}(Y) = \frac{1}{\mathrm{E}(X) + 1}$ en général. Pour $n = 1$ et $p = \frac{1}{2}$, on trouve $\mathrm{E}(Y) = \frac{3}{4}$ et $\frac{1}{\mathrm{E}(X) + 1} = \frac{2}{3}$. Plus précisément, posons $m = \mathrm{E}(X) = np$. Pour $x > -1$, une mise au même dénominateur donne $$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{m + 1} + \frac{x - m}{(m + 1)^{2}} = \frac{(x - m)^{2}}{(x + 1)(m + 1)^{2}} \geqslant 0 :$$ la fonction $x \mapsto \frac{1}{x + 1}$, convexe, est au-dessus de sa tangente en $m$ (chapitre 9). En appliquant cette inégalité à $X$ et en prenant l'espérance (théorème 9 (i) et (ii)), le terme $\frac{\mathrm{E}(X) - m}{(m + 1)^{2}}$ disparaît, et $$\boxed{\mathrm{E}\Big(\frac{1}{X + 1}\Big) \geqslant \frac{1}{\mathrm{E}(X) + 1}}$$ avec égalité si et seulement si $\mathrm{E}\Big(\frac{(X - m)^{2}}{(X + 1)(m + 1)^{2}}\Big) = 0$, c'est-à-dire, la variable étant positive, si $\mathrm{P}(X = m) = 1$. Pour $p \in \left]0\,,1\right[$, la variable $X$ n'est pas constante, puisque $\mathrm{P}(X = 0) = q^{n}$ et $\mathrm{P}(X = n) = p^{n}$ sont non nuls : l'inégalité est stricte. L'égalité n'a lieu que pour $p = 1$, où $X = n$.

Piège. C'est la mise en garde qui suit le théorème 10 : $\mathrm{E}\big(f(X)\big) \neq f\big(\mathrm{E}(X)\big)$ dès que $f$ n'est pas affine. L'erreur la plus répandue est d'écrire $\mathrm{E}\big(\frac{1}{X}\big) = \frac{1}{\mathrm{E}(X)}$ ; l'inégalité de Jensen du chapitre 9 (proposition 7), appliquée avec les coefficients $\mathrm{P}(X = x)$, donne le sens de l'écart pour une fonction convexe.