Exercice 25

On prend $\Omega = \llbracket 1\,,6 \rrbracket^{3}$, ensemble des triplets de résultats des dés pris dans l'ordre des lancers, muni de la probabilité uniforme : $|\Omega| = 216$. On compte les cas favorables.

• Au moins un six. Le contraire, « aucun six », correspond à $\llbracket 1\,,5 \rrbracket^{3}$, qui a $125$ éléments (proposition 2 (iv)) : la probabilité vaut $1 - \frac{125}{216}$.

• Exactement un six. On choisit le rang du six, de $3$ façons, puis les deux autres résultats dans $\llbracket 1\,,5 \rrbracket$, de $25$ façons : $75$ issues.

• Au moins deux résultats égaux. Le contraire, « trois résultats distincts », compte $A_{6}^{3} = 120$ issues (théorème 1).

• Au moins deux égaux et somme paire. Les triplets constants $(a, a, a)$ ont une somme $3a$ paire si et seulement si $a$ est pair : $3$ issues. Les triplets ayant exactement deux résultats égaux s'écrivent, à l'ordre près, $a$, $a$, $b$ avec $b \neq a$ ; leur somme $2a + b$ est paire si et seulement si $b$ est pair. On choisit $b$ pair ($3$ façons), $a \neq b$ ($5$ façons) et le rang de $b$ ($3$ façons) : $45$ issues, soit $48$ en tout.

$$\boxed{\mathrm{P}(\text{deux résultats égaux}) = \frac{4}{9}, \qquad \mathrm{P}(\text{deux résultats égaux, somme paire}) = \frac{2}{9}}$$ Une énumération des $216$ issues confirme ces quatre valeurs ✓. Parmi les issues ayant deux résultats égaux, la moitié exactement ont une somme paire ($48$ sur $96$).

Piège. Pour « au moins un six », l'erreur la plus répandue est d'additionner les probabilités $\frac{1}{6}$ des trois lancers, ce qui donne $\frac{1}{2}$ : les événements « le $i$-ième lancer donne six » ne sont pas incompatibles, et $\frac{1}{2}$ n'est qu'un majorant (sous-additivité, proposition 7 (iv)). On passe par le contraire, comme le recommande la méthode de la section 21.2.6.