Exercice 26

On note $T$ l'événement « exactement deux trèfles et deux piques ». Dans les trois cas, l'univers est muni de la probabilité uniforme.

Tirage simultané. L'univers est l'ensemble des parties à $4$ éléments du jeu, qui en compte $\binom{52}{4}$, soit $270\,725$. Une main favorable est formée de deux des treize trèfles et de deux des treize piques : $$\mathrm{P}(T) = \frac{\dbinom{13}{2}^{2}}{\dbinom{52}{4}} = \frac{6\,084}{270\,725}, \qquad \boxed{\mathrm{P}(T) = \frac{468}{20\,825} \approx 0{,}0225}$$

Tirage successif sans remise. L'univers est l'ensemble des $4$-listes de cartes distinctes, de cardinal $A_{52}^{4} = 6\,497\,400$ (théorème 1). On choisit les deux rangs des trèfles, de $\binom{4}{2} = 6$ façons, puis la liste ordonnée des deux trèfles, de $13 \times 12$ façons, et celle des deux piques, de $13 \times 12$ façons : $$\boxed{\mathrm{P}(T) = \frac{6 \times 156^{2}}{A_{52}^{4}} = \frac{146\,016}{6\,497\,400} = \frac{468}{20\,825}}$$

Tirage successif avec remise. L'univers est l'ensemble des $4$-listes de cartes, de cardinal $52^{4}$ (proposition 3). On choisit les rangs des trèfles, puis chacune des quatre cartes dans sa couleur : $$\boxed{\mathrm{P}(T) = \frac{6 \times 13^{4}}{52^{4}} = \frac{6}{4^{4}} = \frac{3}{128} \approx 0{,}0234}$$

Pourquoi les deux premiers résultats sont égaux. L'application qui oublie l'ordre envoie chaque $4$-liste de cartes distinctes sur la partie formée de ses termes, et chaque partie est l'image de exactement $4! = 24$ listes : c'est l'argument du lemme des bergers dans la démonstration du théorème 2. Elle envoie les listes favorables sur les mains favorables, puisque l'événement $T$ ne dépend pas de l'ordre. Les cas favorables et les cas possibles sont donc tous deux multipliés par $24$ : $146\,016 = 24 \times 6\,084$ et $6\,497\,400 = 24 \times 270\,725$ ✓. Avec remise, les tirages ne sont plus équivalents : une carte peut sortir deux fois, et les couleurs ne s'épuisent pas, ce qui rend $T$ un peu plus probable.

À retenir. Pour un événement qui ne dépend pas de l'ordre, on peut toujours choisir le modèle ordonné ou le modèle non ordonné, à condition de rester cohérent : compter les cas favorables avec ordre et les cas possibles sans ordre est l'erreur la plus répandue, et donne ici un résultat $24$ fois trop grand.