Exercice 24

1. On cherche $\mathrm{P}(\{k\}) = ck$, avec $c > 0$. D'après le théorème 4, une telle famille définit une probabilité si et seulement si ses termes sont positifs et de somme $1$ ; la somme vaut $c\,\frac{n(n + 1)}{2}$ (chapitre 3), d'où l'unique valeur de $c$ : $$\boxed{\mathrm{P}(\{k\}) = \frac{2k}{n(n + 1)} \qquad\text{pour } k \in \llbracket 1\,,n \rrbracket}$$ Pour $n = 3$, on trouve les probabilités $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{6}$, de somme $1$ ✓.

2. On cherche $\mathrm{P}(\llbracket 1\,,k \rrbracket) = ck^{2}$ pour tout $k$. Avec $k = n$, il vient $c = \frac{1}{n^{2}}$. L'intervalle $\llbracket 1\,,k \rrbracket$ est la réunion disjointe de $\llbracket 1\,,k - 1 \rrbracket$ et de $\{k\}$, avec $\llbracket 1\,,0 \rrbracket = \varnothing$, de probabilité nulle, ce qui est cohérent avec la formule $c \times 0^{2}$. Donc, nécessairement, $$\mathrm{P}(\{k\}) = \frac{k^{2} - (k - 1)^{2}}{n^{2}}, \qquad \boxed{\mathrm{P}(\{k\}) = \frac{2k - 1}{n^{2}} \qquad\text{pour } k \in \llbracket 1\,,n \rrbracket}$$ Réciproquement, ces nombres sont positifs et leur somme télescopique vaut $\frac{n^{2}}{n^{2}} = 1$ ; la probabilité qu'ils définissent (théorème 4) vérifie $\mathrm{P}(\llbracket 1\,,k \rrbracket) = \frac{k^{2}}{n^{2}}$ par le même télescopage. On a ainsi retrouvé que la somme des $k$ premiers nombres impairs vaut $k^{2}$.

3. Notons $p_{i} = \mathrm{P}(\{i\})$. Par le théorème 4, une probabilité sur $\{1, 2, 3\}$ est la donnée de trois réels positifs de somme $1$, et les conditions s'écrivent $$p_{1} + p_{2} = x, \qquad p_{2} + p_{3} = y, \qquad p_{1} + p_{2} + p_{3} = 1.$$ Ce système a pour unique solution $p_{1} = 1 - y$, $p_{3} = 1 - x$ et $p_{2} = x + y - 1$. La probabilité cherchée existe si et seulement si ces trois nombres sont positifs : $$\boxed{x \leqslant 1, \qquad y \leqslant 1, \qquad x + y \geqslant 1}$$ et elle est alors unique. Ces conditions entraînent $x \geqslant 1 - y \geqslant 0$ et de même $y \geqslant 0$ : il n'est pas utile de les ajouter.

Les couples $(x, y)$ admissibles remplissent le triangle pétrole. Sur chaque côté, l'une des trois probabilités s'annule, et aux sommets la probabilité est concentrée sur un seul point ; on a noté $\delta_{i}$ la probabilité qui donne la probabilité $1$ au singleton $\{i\}$.