Exercice 23

1. La formule de la proposition 7 (iv) donne d'abord la probabilité de l'intersection : $$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{5}{10} - \frac{9}{10} = \frac{3}{10}.$$ L'événement « l'un exactement des deux est réalisé » est $(A \cup B) \setminus (A \cap B)$, et $A \cap B \subset A \cup B$ ; la proposition 7 (ii) donne $$\boxed{\mathrm{P}\big((A \cup B) \setminus (A \cap B)\big) = \mathrm{P}(A \cup B) - \mathrm{P}(A \cap B) = \frac{9}{10} - \frac{3}{10} = \frac{3}{5}}$$ On le retrouve en écrivant cet événement comme la réunion des événements incompatibles $A \cap \overline{B}$ et $\overline{A} \cap B$, de probabilités $\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{2}{5}$ et $\frac{5}{10} - \frac{3}{10} = \frac{1}{5}$ ✓.

2. Les quatre événements $A \cap B$, $A \cap \overline{B}$, $\overline{A} \cap B$ et $\overline{A} \cap \overline{B}$ forment un système complet d'événements ; on note $x$, $y$, $z$, $w$ leurs probabilités, de sorte que $x + y + z + w = 1$ (proposition 7 (v)). Le contraire de chacune des quatre réunions est l'un de ces quatre « atomes », par les lois de De Morgan : par exemple, le contraire de $A \cup \overline{B}$ est $\overline{A} \cap B$. Par la proposition 7 (ii), $$\mathrm{P}(A \cup B) + \mathrm{P}(A \cup \overline{B}) + \mathrm{P}(\overline{A} \cup B) + \mathrm{P}(\overline{A} \cup \overline{B}) = (1 - w) + (1 - z) + (1 - y) + (1 - x) = 4 - 1,$$

$$\boxed{\mathrm{P}(A \cup B) + \mathrm{P}(A \cup \overline{B}) + \mathrm{P}(\overline{A} \cup B) + \mathrm{P}(\overline{A} \cup \overline{B}) = 3}$$ Chaque atome est contenu dans exactement trois des quatre réunions : la somme compte trois fois la probabilité totale, ce qui est une autre façon de lire le résultat.

3. Comme $A \cap B$ est inclus dans $A$ et dans $B$, la croissance (proposition 7 (iii)) donne $\mathrm{P}(A \cap B) \leqslant p$ et $\mathrm{P}(A \cap B) \leqslant q$. Une probabilité est positive, et $\mathrm{P}(A \cup B) \leqslant 1$, donc $$\mathrm{P}(A \cap B) = p + q - \mathrm{P}(A \cup B) \geqslant p + q - 1.$$

$$\boxed{\max(0, p + q - 1) \leqslant \mathrm{P}(A \cap B) \leqslant \min(p, q)}$$ Réciproquement, soit $t$ dans cet intervalle. On prend $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$ et les quatre nombres $$p_{1} = t, \qquad p_{2} = p - t, \qquad p_{3} = q - t, \qquad p_{4} = 1 - p - q + t.$$ Ils sont positifs exactement parce que $t \leqslant p$, $t \leqslant q$ et $t \geqslant p + q - 1$, et leur somme vaut $1$ : c'est une distribution de probabilités, et le théorème 4 fournit une probabilité $\mathrm{P}$ sur $\Omega$ telle que $\mathrm{P}(\{i\}) = p_{i}$. Avec $A = \{1, 2\}$ et $B = \{1, 3\}$, on obtient $\mathrm{P}(A) = p$, $\mathrm{P}(B) = q$ et $\mathrm{P}(A \cap B) = t$. $$\boxed{\text{toute valeur } t \in \big[\max(0, p + q - 1)\,,\min(p, q)\big] \text{ est atteinte}}$$

Les quatre atomes déterminent tout : la probabilité $t$ de la case pétrole fixe les trois autres, et la seule contrainte est que les quatre cases aient une probabilité positive. C'est exactement l'encadrement obtenu, que l'on retrouvera à l'exercice 55 pour la loi conjointe de deux variables de Bernoulli.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'écrire $\mathrm{P}(A \cap B) = pq$ : c'est l'indépendance, qui n'est qu'une valeur particulière de l'intervalle, et l'énoncé ne la suppose pas. Les bornes correspondent aux cas extrêmes : $t = \min(p, q)$ lorsque l'un des événements est (presque sûrement) inclus dans l'autre, $t = \max(0, p + q - 1)$ lorsqu'ils se chevauchent le moins possible.