Exercice 83

1. Soit $k \in \llbracket 0\,,n \rrbracket$. On a $(M \leqslant k) = (X \leqslant k) \cap (Y \leqslant k)$, et, par indépendance, $$\boxed{\mathrm{P}(M \leqslant k) = \mathrm{P}(X \leqslant k)\mathrm{P}(Y \leqslant k) = \frac{k^{2}}{n^{2}}}$$ Pour $k \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$, $(M = k) = (M \leqslant k) \setminus (M \leqslant k - 1)$, d'où $$\boxed{\mathrm{P}(M = k) = \frac{k^{2} - (k - 1)^{2}}{n^{2}} = \frac{2k - 1}{n^{2}}}$$ Avec les sommes usuelles du chapitre 3, $$\mathrm{E}(M) = \frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n} (2k^{2} - k) = \frac{1}{n^{2}}\Big(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3} - \frac{n(n + 1)}{2}\Big), \qquad \boxed{\mathrm{E}(M) = \frac{(n + 1)(4n - 1)}{6n}}$$

2. Pour toute issue, $\{M, N\} = \{X, Y\}$ en tant que valeurs, donc $M + N = X + Y$. Par linéarité, et avec $\mathrm{E}(X) = \mathrm{E}(Y) = \frac{n + 1}{2}$ (proposition 19), $$\mathrm{E}(N) = (n + 1) - \frac{(n + 1)(4n - 1)}{6n}, \qquad \boxed{\mathrm{E}(N) = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n}}$$

3. Comme $N$ est à valeurs dans $\llbracket 1\,,n \rrbracket$, $N = \sum_{k=1}^{n} \mathbf{1}_{(N \geqslant k)}$ pour toute issue, comme à l'exercice 76, d'où $\boxed{\mathrm{E}(N) = \sum_{k=1}^{n} \mathrm{P}(N \geqslant k)}$. Or $(N \geqslant k) = (X \geqslant k) \cap (Y \geqslant k)$, de probabilité $\big(\frac{n - k + 1}{n}\big)^{2}$, et, en posant $j = n - k + 1$, $$\mathrm{E}(N) = \frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n} j^{2} = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n},$$ ce qui confirme la question 2 ✓.

4. Par la formule de transfert et la somme des cubes, $$\mathrm{E}(M^{2}) = \frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n} (2k^{3} - k^{2}) = \frac{1}{n^{2}}\Big(\frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{2} - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\Big) = \frac{(n + 1)(3n^{2} + n - 1)}{6n}.$$ La formule de König-Huygens (théorème 11 (i)) donne, après réduction au dénominateur $36n^{2}$, $$\mathrm{V}(M) = \frac{(n + 1)(3n^{2} + n - 1)}{6n} - \frac{(n + 1)^{2}(4n - 1)^{2}}{36n^{2}}, \qquad \boxed{\mathrm{V}(M) = \frac{(n^{2} - 1)(2n^{2} + 1)}{36n^{2}}}$$ Pour $n = 1$, on trouve $\mathrm{V}(M) = 0$, puisque $M = 1$. Les quatre résultats ont été vérifiés par énumération pour $n \leqslant 7$ ✓. Quand $n$ est grand, $\mathrm{E}(M) \sim \frac{2n}{3}$ et $\mathrm{E}(N) \sim \frac{n}{3}$ : les deux tirages partagent l'intervalle en trois parts égales en moyenne, ce que l'exercice 92 retrouvera.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'écrire que la probabilité $\mathrm{P}(M = k)$ vaut $\mathrm{P}(X = k)\mathrm{P}(Y = k)$, ou bien $\mathrm{P}(X = k) + \mathrm{P}(Y = k)$. L'événement $(M = k)$ ne s'écrit pas simplement en termes de $X$ et de $Y$ ; c'est l'événement $(M \leqslant k)$ qui est une intersection, d'où le passage par les probabilités $\mathrm{P}(M \leqslant k)$.