Exercice 82

L'espérance et la variance ne dépendent que de la loi (section 21.6.1) : comme $X$ et $aX + b$ ont la même loi, $\mathrm{E}(X) = a\mathrm{E}(X) + b$ et $\mathrm{V}(X) = \mathrm{V}(aX + b) = a^{2}\mathrm{V}(X)$ (théorème 11 (ii)).

1. Si $a \notin \{-1, 1\}$, alors $1 - a^{2} \neq 0$, et $(1 - a^{2})\mathrm{V}(X) = 0$ donne $\mathrm{V}(X) = 0$. Par le théorème 11 (iii), $\mathrm{P}\big(X = \mathrm{E}(X)\big) = 1$, et comme $a \neq 1$, la relation $\mathrm{E}(X) = a\mathrm{E}(X) + b$ donne $\mathrm{E}(X) = \frac{b}{1 - a}$ : $$\boxed{\mathrm{P}(X = c) = 1, \qquad c = \frac{b}{1 - a}}$$ Réciproquement, une variable égale à $c$ avec la probabilité $1$ convient, puisque $ac + b = c$.

2. Si $a = 1$, la relation $\mathrm{E}(X) = \mathrm{E}(X) + b$ donne $b = 0$ : $\boxed{\text{le cas } a = 1,\ b \neq 0 \text{ est impossible}}$. On peut aussi raisonner sans espérance : la plus grande valeur prise avec une probabilité non nulle serait la même pour $X$ et pour $X + b$, ce qui impose $b = 0$.

3. Si $a = -1$ et $b \neq 0$, soit $X$ de loi uniforme sur $\{0, b\}$ : la variable $b - X$ prend les valeurs $b$ et $0$, chacune avec la probabilité $\frac{1}{2}$, donc $b - X \sim X$, et $X$ n'est pas constante. Si $b = 0$, $X$ de loi uniforme sur $\{-1, 1\}$ convient. Plus généralement, toute variable dont la loi est symétrique par rapport à $\frac{b}{2}$ convient : $$\boxed{X \sim \mathcal{U}(\{0, b\}) \ \text{ si } b \neq 0, \qquad X \sim \mathcal{U}(\{-1, 1\}) \ \text{ si } b = 0}$$ Dans ce cas, la relation entre espérances impose seulement $\mathrm{E}(X) = \frac{b}{2}$, et la relation entre variances est toujours vraie.

Piège. L'énoncé dit que $X$ et $aX + b$ ont la même loi, et non qu'elles sont égales : on ne peut pas écrire $X = aX + b$ et résoudre. C'est la mise en garde de la remarque qui suit la proposition 13.