Exercice 81

On note $q = 1 - p$. Le couple $(X, Y)$ prend les quatre valeurs de $\{0, 1\}^{2}$, avec les probabilités $q^{2}$, $pq$, $qp$, $p^{2}$ par indépendance, et le couple $(U, V) = (X + Y, X - Y)$ prend les valeurs $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(1, -1)$ et $(2, 0)$, deux à deux distinctes. On en déduit la loi conjointe, en lisant $u$ en ligne et $v$ en colonne : $$\begin{array}{c|ccc|c} & v = -1 & v = 0 & v = 1 & \mathrm{P}(U = u) \\ \hline u = 0 & 0 & q^{2} & 0 & q^{2} \\ u = 1 & pq & 0 & pq & 2pq \\ u = 2 & 0 & p^{2} & 0 & p^{2} \\ \hline \mathrm{P}(V = v) & pq & p^{2} + q^{2} & pq & 1 \end{array}$$ Par la bilinéarité et la symétrie de la covariance (proposition 23), $$\operatorname{Cov}(U, V) = \operatorname{Cov}(X, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(Y, Y) = \mathrm{V}(X) - \mathrm{V}(Y),$$ d'où $\boxed{\operatorname{Cov}(U, V) = 0}$, puisque $X$ et $Y$ ont la même loi. Pourtant $\mathrm{P}(U = 1, V = 0) = 0$, alors que le produit $\mathrm{P}(U = 1)\mathrm{P}(V = 0)$ vaut $2pq(p^{2} + q^{2}) > 0$ : $$\boxed{U \text{ et } V \text{ sont décorrélées, mais pas indépendantes}}$$ On le lit sur le tableau : la case centrale est vide, alors que sa ligne et sa colonne ne le sont pas. Savoir que $U = 1$ force $V = \pm 1$.

Piège. C'est le phénomène de la remarque qui suit la proposition 20 : l'indépendance entraîne la décorrélation (proposition 23 (iii)), et la réciproque est fausse. L'erreur la plus répandue est de conclure à l'indépendance à partir d'une covariance nulle.