Exercice 80

On prend pour univers $\Omega = \llbracket 1\,,n \rrbracket^{r}$, ensemble des $r$-listes $\omega = (T_{1}, \dots, T_{r})$, où $T_{j}$ est le tiroir de la boule $j$, muni de la probabilité uniforme ; il a $n^{r}$ éléments (proposition 3). Par la proposition 17, les variables $T_{1}$, …, $T_{r}$ sont mutuellement indépendantes, de loi uniforme sur $\llbracket 1\,,n \rrbracket$.

1. Pour $k \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$, on a $X_{k} = \sum_{j=1}^{r} \mathbf{1}_{(T_{j} = k)}$. Les indicatrices $\mathbf{1}_{(T_{j} = k)}$, fonctions des $T_{j}$, sont mutuellement indépendantes (proposition 16), de loi $\mathcal{B}(\frac{1}{n})$. Par le théorème 8, $$\boxed{X_{k} \sim \mathcal{B}(r,\tfrac{1}{n}), \qquad \mathrm{E}(X_{k}) = \frac{r}{n}}$$

2. Les variables $X_{1}$, …, $X_{n}$ ont pour somme $r$, et ne sont pas indépendantes. Par exemple, comme $n \geqslant 2$ et $r \geqslant 1$, l'événement $(X_{1} = r, X_{2} = r)$ est impossible, puisque $X_{1} + X_{2} \leqslant r < 2r$, alors que $\mathrm{P}(X_{1} = r)\mathrm{P}(X_{2} = r) = \frac{1}{n^{2r}} > 0$. Par la proposition 15, déjà $\boxed{X_{1} \text{ et } X_{2} \text{ ne sont pas indépendantes}}$, et la famille ne l'est pas non plus.

3. On a $V = \sum_{k=1}^{n} \mathbf{1}_{(X_{k} = 0)}$, et $\mathrm{P}(X_{k} = 0) = \big(1 - \frac{1}{n}\big)^{r}$ par la question 1. Par la méthode des indicatrices, $$\boxed{\mathrm{E}(V) = n\Big(1 - \frac{1}{n}\Big)^{r}}$$ Pour $r = n$, $\frac{\mathrm{E}(V)}{n} = \big(1 - \frac{1}{n}\big)^{n} = \exp\big(n\ln(1 - \frac{1}{n})\big)$, et $n\ln(1 - \frac{1}{n}) = n\big(-\frac{1}{n} + o(\frac{1}{n})\big) \to -1$ (chapitre 10), d'où $$\boxed{\frac{\mathrm{E}(V)}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{\mathrm{e}} \approx 0{,}368}$$ Quand on répartit au hasard $n$ boules dans $n$ tiroirs, plus d'un tiroir sur trois reste vide en moyenne, alors qu'une répartition équitable n'en laisserait aucun. Pour $n = 100$, la proportion moyenne vaut déjà $0{,}366$. On retrouve la même limite $\frac{1}{\mathrm{e}}$ que pour la probabilité qu'une permutation aléatoire n'ait aucun point fixe (remarque de la section 21.6.3).

4. Soit $j \in \llbracket 0\,,n \rrbracket$ et $J$ une partie de $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ à $j$ éléments. Les répartitions pour lesquelles l'ensemble des tiroirs vides est exactement $J$ sont les applications de $\llbracket 1\,,r \rrbracket$ dans $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ dont l'image est $\llbracket 1\,,n \rrbracket \setminus J$, c'est-à-dire les surjections de $\llbracket 1\,,r \rrbracket$ sur cet ensemble à $n - j$ éléments : il y en a $S(r, n - j)$, avec les notations de l'exercice 15. En regroupant selon $J$, qui se choisit de $\tbinom{n}{j}$ façons, $$\boxed{\mathrm{P}(V = j) = \frac{1}{n^{r}}\binom{n}{j}S(r, n - j) = \frac{1}{n^{r}}\binom{n}{j}\sum_{i=0}^{n-j} (-1)^{n-j-i}\binom{n - j}{i}i^{r}, \qquad j \in \llbracket 0\,,n \rrbracket}$$ par la formule de l'exercice 15 (proposition 6 du cours), avec $S(r, 0) = 0$ puisque $r \geqslant 1$ : on a toujours $V \leqslant n - 1$. Comme $S(r, p) = 0$ pour $p > r$, on a aussi $V \geqslant n - r$, ce qui est clair : $r$ boules occupent au plus $r$ tiroirs. Les lois de $X_{1}$ et de $V$, et l'espérance de $V$, ont été vérifiées par énumération pour $n \leqslant 4$ et $r \leqslant 4$ ✓.

À retenir. La question 3 donne l'espérance de $V$ en une ligne, alors que sa loi, à la question 4, demande le nombre de surjections, qui n'a pas d'expression simple. C'est l'exemple type de la méthode des indicatrices : les événements $(X_{k} = 0)$ ne sont pas indépendants, et la linéarité n'en a pas besoin.