Exercice 103

L'univers est $\llbracket 1\,,n \rrbracket$, muni de la probabilité uniforme : $\mathrm{P}(E) = \frac{|E|}{n}$ pour toute partie $E$.

1. D'après le chapitre 12, $x$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux si et seulement s'ils ont un diviseur premier commun, c'est-à-dire si et seulement si l'un des $p_{k}$ divise $x$, puisque les diviseurs premiers de $n$ sont exactement $p_{1}$, …, $p_{r}$. Ainsi $$\boxed{B = \bigcap_{k=1}^{r} \overline{A_{p_{k}}}}$$

2. Si $m$ divise $n$, les multiples de $m$ dans $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ sont $m$, $2m$, …, $\frac{n}{m}\,m$ ; il y en a $\frac{n}{m}$, et $$\boxed{\mathrm{P}(A_{m}) = \frac{1}{m}}$$

3. Soit $J$ une partie non vide de $\llbracket 1\,,r \rrbracket$ et $m_{J} = \prod_{k \in J} p_{k}$. Les $p_{k}$ étant des nombres premiers distincts, donc premiers entre eux deux à deux, un entier est divisible par chacun d'eux si et seulement s'il est divisible par leur produit (chapitre 12). Ainsi $\bigcap_{k \in J} A_{p_{k}} = A_{m_{J}}$, et $m_{J}$ divise $n$ ; la question 2 donne $$\mathrm{P}\Big(\bigcap_{k \in J} A_{p_{k}}\Big) = \frac{1}{m_{J}} = \prod_{k \in J} \frac{1}{p_{k}} = \prod_{k \in J} \mathrm{P}(A_{p_{k}}).$$

$$\boxed{A_{p_{1}}, \dots, A_{p_{r}} \text{ sont mutuellement indépendants}}$$ Pour $n = 60 = 2^{2} \times 3 \times 5$, on retrouve l'exemple du cours. L'hypothèse que les $p_{k}$ divisent $n$ est essentielle : sur $\llbracket 1\,,100 \rrbracket$, le cours a montré que $A_{2}$ et $A_{3}$ ne sont pas indépendants, puisque $\mathrm{P}(A_{2} \cap A_{3}) = \mathrm{P}(A_{6}) = \frac{16}{100}$ diffère de $\mathrm{P}(A_{2})\,\mathrm{P}(A_{3}) = \frac{50}{100} \times \frac{33}{100}$.

4. Par la proposition 10 (iii), les contraires $\overline{A_{p_{1}}}$, …, $\overline{A_{p_{r}}}$ sont mutuellement indépendants, de probabilités $1 - \frac{1}{p_{k}}$. La question 1 donne $$\boxed{\mathrm{P}(B) = \prod_{k=1}^{r} \Big(1 - \frac{1}{p_{k}}\Big)}$$ et, comme $\mathrm{P}(B) = \frac{|B|}{n} = \frac{\varphi(n)}{n}$, $$\boxed{\varphi(n) = n\prod_{k=1}^{r} \Big(1 - \frac{1}{p_{k}}\Big)}$$ Pour $n = 60$, on trouve $\varphi(60) = 60 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = 16$, et la formule a été contrôlée pour $2 \leqslant n \leqslant 300$ ✓.

5. Si $n = p$ est premier, $r = 1$ et $\boxed{\varphi(p) = p - 1}$ : directement, les entiers $1$, …, $p - 1$ sont premiers avec $p$, et $p$ ne l'est pas. Si $n = p^{\alpha}$ avec $\alpha \geqslant 1$, on a encore $r = 1$, et $$\boxed{\varphi(p^{\alpha}) = p^{\alpha}\Big(1 - \frac{1}{p}\Big) = p^{\alpha} - p^{\alpha - 1}}$$ Directement, un entier n'est pas premier avec $p^{\alpha}$ si et seulement s'il est multiple de $p$, et il y a $p^{\alpha - 1}$ multiples de $p$ dans $\llbracket 1\,,p^{\alpha} \rrbracket$.

À retenir. Une formule d'arithmétique devient une conséquence de l'indépendance : être divisible par $2$ et être divisible par $3$ sont deux « informations indépendantes » sur un entier tiré au hasard dans $\llbracket 1\,,n \rrbracket$, dès que $6$ divise $n$. La formule montre aussi que $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux, puisque les diviseurs premiers de $ab$ sont alors ceux de $a$ et ceux de $b$, sans répétition. La fonction $\varphi$ intervenait déjà dans l'exercice 62 de la feuille du chapitre 20.