Exercice 102

1. Vrai. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(\varnothing) = 0 < \mathrm{P}(A)\,\mathrm{P}(B)$. C'est la première remarque qui suit la proposition 10 : savoir que l'un est réalisé apprend que l'autre ne l'est pas.

2. Faux. On lance deux pièces équilibrées, avec $\Omega = \{P, F\}^{2}$ muni de la probabilité uniforme ; $A$ est « la première donne pile », $B$ « la seconde donne pile », $C$ « les deux donnent le même côté ». Chacun a la probabilité $\frac{1}{2}$, chaque intersection de deux d'entre eux est réduite à $\{(P, P)\}$, de probabilité $\frac{1}{4}$ : ils sont deux à deux indépendants. Mais $\mathrm{P}(A \cap B \cap C) = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{8}$. C'est le second exemple qui suit la proposition 10.

3. Vrai. Si $X \sim Y$, alors $X^{2} \sim Y^{2}$ par la proposition 13 avec $f(x) = x^{2}$. La formule de transfert exprime $\mathrm{E}(X^{3}) = \sum_{x} x^{3}\,\mathrm{P}(X = x)$ à l'aide de la seule loi de $X$, donc $\mathrm{E}(X^{3}) = \mathrm{E}(Y^{3})$.

4. Faux. Soit $D$ le résultat d'un dé équilibré, $X = D$ et $Y = 7 - D$. Les variables $X$ et $Y$ suivent la loi uniforme sur $\llbracket 1\,,6 \rrbracket$, mais $X + Y = 7$ est constante alors que $2X$ prend six valeurs. C'est la remarque qui suit la proposition 13.

5. Faux. Soit $X$ de loi uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$ et $Y = X^{2}$. Alors $$\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}(X^{3}) = 0 = \mathrm{E}(X)\,\mathrm{E}(Y), \qquad\text{mais}\qquad \mathrm{P}(X = 0, Y = 1) = 0 \neq \mathrm{P}(X = 0)\,\mathrm{P}(Y = 1) = \frac{2}{9}.$$ C'est la remarque qui suit la proposition 20 : la relation $\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$ exprime seulement la décorrélation.

6. Faux. Soit $X$ de loi $\mathcal{B}(\frac{1}{2})$ et $Y = X$. Alors $\mathrm{V}(X + Y) = \mathrm{V}(2X) = 4\mathrm{V}(X) = 1$, alors que $\mathrm{V}(X) + \mathrm{V}(Y) = \frac{1}{2}$. Le théorème 13 exige que les variables soient deux à deux décorrélées.

7. Vrai. Par l'indépendance et la proposition 15, la loi du couple $(X, Y)$ est le produit de ses lois marginales ; elle ne dépend que des lois $\mathcal{B}(n,p)$ et $\mathcal{B}(m,p)$, et la loi de $X + Y$ aussi (proposition 13). Il suffit donc de la calculer sur un modèle commode. La proposition 17 fournit des variables $B_{1}$, …, $B_{n+m}$ mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{B}(p)$ ; les sommes $U = B_{1} + \cdots + B_{n}$ et $W = B_{n+1} + \cdots + B_{n+m}$ suivent les lois $\mathcal{B}(n,p)$ et $\mathcal{B}(m,p)$ (théorème 8) et sont indépendantes (théorème 7). Le couple $(U, W)$ a donc même loi que $(X, Y)$, et $X + Y$ a même loi que $U + W = B_{1} + \cdots + B_{n+m}$, qui suit la loi $\mathcal{B}(n + m,p)$ par le théorème 8. On peut aussi calculer directement, avec la formule de Vandermonde de la remarque qui suit la proposition 4 : $$\mathrm{P}(X + Y = k) = \sum_{j} \binom{n}{j}\binom{m}{k - j}p^{k}(1 - p)^{n+m-k} = \binom{n + m}{k}p^{k}(1 - p)^{n+m-k}.$$

8. Vrai. Comme $A \cap B \subset A$ et $A \cap B \subset B$, la croissance donne $\mathrm{P}(A) > 0$ et $\mathrm{P}(B) > 0$ : les deux probabilités conditionnelles sont définies. Alors $$\mathrm{P}_{B}(A) = \mathrm{P}_{A}(B) \iff \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)} = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} \iff \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B),$$ la dernière équivalence venant de $\mathrm{P}(A \cap B) \neq 0$. Sans cette hypothèse, l'équivalence tombe : deux événements incompatibles de probabilités $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{2}$ vérifient $\mathrm{P}_{B}(A) = \mathrm{P}_{A}(B) = 0$.

9. Vrai. Soit $X$ une variable qui prend les valeurs $-2$, $0$ et $2$ avec les probabilités $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{4}$ et $\frac{1}{8}$. Alors $$\mathrm{E}(X) = 0, \qquad \mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^{2}) = 4 \times \frac{1}{4} = 1, \qquad \mathrm{P}\big(|X| \geqslant 2\big) = \frac{1}{4} = \frac{\mathrm{V}(X)}{2^{2}}.$$ L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une égalité pour cette variable : aucune majoration de la probabilité d'un écart à la moyenne au moins égal à $\varepsilon$, qui ne dépendrait que de la variance et de $\varepsilon$, ne peut être meilleure.

10. Vrai. Par la proposition 6 pour les surjections de $\llbracket 1\,,5 \rrbracket$ sur $\llbracket 1\,,3 \rrbracket$, et par le théorème 1 pour les injections de $\llbracket 1\,,3 \rrbracket$ dans $\llbracket 1\,,5 \rrbracket$, ces nombres valent respectivement $$3^{5} - 3 \times 2^{5} + 3 \times 1^{5} = 243 - 96 + 3 = 150 \qquad\text{et}\qquad A_{5}^{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60.$$

$$\boxed{\text{Vrai : } 1, 3, 7, 8, 9, 10 ; \qquad \text{Faux : } 2, 4, 5, 6}$$ Piège. Les assertions 4, 5 et 6 commettent la même faute : elles traitent des variables comme si leurs lois suffisaient à tout décrire. Or $X + Y$, $\mathrm{E}(XY)$ et $\mathrm{V}(X + Y)$ dépendent de la loi conjointe du couple, que les lois marginales ne déterminent pas ; l'indépendance est précisément l'hypothèse qui fait de la loi conjointe le produit des marginales (proposition 15), et c'est elle qui rend vraie l'assertion 7.