Exercice 104

Le modèle. On note $W$ l'ensemble des $g$ numéros gagnants, fixé, et l'on décrit le jeu par trois parties aléatoires de $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ à $g$ éléments : $T$, tirée par le joueur ; $R$, dévoilée par le meneur ; $T'$, tirée dans la seconde phase. Comme pour les tirages successifs de l'exemple qui suit la proposition 9, l'énoncé fixe les probabilités conditionnelles :

• $T$ suit la loi uniforme sur les parties à $g$ éléments de $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ ;

• sachant $(T = t)$, $R$ suit la loi uniforme sur les parties à $g$ éléments de l'ensemble $L_{t}$ des numéros perdants non tirés ;

• sachant $(T = t) \cap (R = \rho)$, $T'$ suit la loi uniforme sur les parties à $g$ éléments de $\llbracket 1\,,n \rrbracket \setminus (t \cup \rho)$.

La formule des probabilités composées (proposition 9) donne alors la probabilité de chaque triplet $(t, \rho, t')$. On pose $G_{1} = |T \cap W|$ et $G_{2} = |T' \cap W|$.

1. Le tirage de $T$ est celui de l'exercice 89, avec $n$ boules, dont $g$ « blanches », les numéros gagnants, et $g$ boules tirées ; l'hypothèse $1 \leqslant g \leqslant n - 1$ de cet exercice est satisfaite, puisque $g \leqslant \frac{n}{3}$. Donc $$\boxed{\mathrm{P}(G_{1} = k) = \frac{\dbinom{g}{k}\dbinom{n - g}{g - k}}{\dbinom{n}{g}} \ \ (0 \leqslant k \leqslant g), \qquad \mathrm{E}(G_{1}) = g \times \frac{g}{n} = \frac{g^{2}}{n}}$$ Toutes ces probabilités sont strictement positives, puisque $n - g \geqslant g \geqslant g - k$.

2.(a) Soit $t$ une partie à $g$ éléments telle que $|t \cap W| = k$. Parmi les $n - g$ numéros perdants, $g - k$ ont été tirés, donc $$|L_{t}| = n - g - (g - k) = n - 2g + k \geqslant n - 2g \geqslant g,$$ puisque $n \geqslant 3g$ : le meneur peut toujours dévoiler $g$ numéros perdants. Soit $\rho \subset L_{t}$ à $g$ éléments. L'ensemble $\llbracket 1\,,n \rrbracket \setminus (t \cup \rho)$ a $n - 2g$ éléments ; il contient les $g - k$ numéros gagnants non tirés, puisque $\rho$ ne contient que des perdants, et $n - 3g + k$ numéros perdants. Le nombre de ses parties à $g$ éléments contenant exactement $j$ gagnants est $\binom{g - k}{j}\binom{n - 3g + k}{g - j}$ (théorème 2 et lemme des bergers), d'où $$\mathrm{P}\big(G_{2} = j \mid (T = t) \cap (R = \rho)\big) = h_{k}(j) = \frac{\dbinom{g - k}{j}\dbinom{n - 3g + k}{g - j}}{\dbinom{n - 2g}{g}}.$$ Ce nombre ne dépend que de $k$. L'événement $(G_{1} = k)$ est la réunion disjointe des événements $(T = t) \cap (R = \rho)$, pour les couples tels que $|t \cap W| = k$ ; en sommant, $$\mathrm{P}(G_{1} = k, G_{2} = j) = \sum_{(t, \rho)} \mathrm{P}\big((T = t) \cap (R = \rho)\big)\,h_{k}(j) = \mathrm{P}(G_{1} = k)\,h_{k}(j),$$

$$\boxed{\mathrm{P}_{(G_{1} = k)}(G_{2} = j) = \frac{\dbinom{g - k}{j}\dbinom{n - 3g + k}{g - j}}{\dbinom{n - 2g}{g}}, \qquad 0 \leqslant j \leqslant g - k}$$ C'est la loi de l'exercice 89, avec $n - 2g$ boules, dont $g - k$ blanches, et $g$ boules tirées.

2.(b) Pour une urne de $N$ boules dont $w$ blanches, dont on tire $s$ boules, la formule du pion $j\binom{w}{j} = w\binom{w - 1}{j - 1}$ (chapitre 3, proposition 9) et la formule de Vandermonde donnent $$\sum_{j} j\binom{w}{j}\binom{N - w}{s - j} = w\sum_{j} \binom{w - 1}{j - 1}\binom{N - w}{s - j} = w\binom{N - 1}{s - 1} = \frac{sw}{N}\binom{N}{s},$$ ce qui redonne la moyenne $\frac{sw}{N}$ de l'exercice 89, y compris dans les cas extrêmes $w = 0$ et $w = N$. Avec $N = n - 2g$, $w = g - k$ et $s = g$, $$\boxed{E_{k} = \frac{g(g - k)}{n - 2g}}$$ Les événements $(G_{1} = k)$, pour $k \in \llbracket 0\,,g \rrbracket$, forment un système complet d'événements de probabilités non nulles. Par la formule des probabilités totales (théorème 5), puis en échangeant les deux sommes finies, $$\begin{aligned} \mathrm{E}(G_{2}) = \sum_{j} j\,\mathrm{P}(G_{2} = j) &= \sum_{j} j\sum_{k=0}^{g} \mathrm{P}(G_{1} = k)\,\mathrm{P}_{(G_{1} = k)}(G_{2} = j) \\ &= \sum_{k=0}^{g} \mathrm{P}(G_{1} = k)\sum_{j} j\,\mathrm{P}_{(G_{1} = k)}(G_{2} = j), \end{aligned}$$

2.(c) Comme $E_{k}$ est une fonction affine de $k$, la linéarité de l'espérance, sous la forme de la formule de transfert, donne $$\mathrm{E}(G_{2}) = \frac{g}{n - 2g}\sum_{k=0}^{g} (g - k)\,\mathrm{P}(G_{1} = k) = \frac{g}{n - 2g}\big(g - \mathrm{E}(G_{1})\big) = \frac{g}{n - 2g}\Big(g - \frac{g^{2}}{n}\Big),$$

$$\boxed{\mathrm{E}(G_{2}) = \frac{g^{2}(n - g)}{n(n - 2g)}}$$ Les formules de $\mathrm{E}(G_{1})$ et $\mathrm{E}(G_{2})$ ont été vérifiées exactement, par énumération de tous les déroulements du jeu, pour plusieurs couples $(n, g)$ ✓.

3. Le rapport des deux espérances vaut $$\frac{\mathrm{E}(G_{2})}{\mathrm{E}(G_{1})} = \frac{n - g}{n - 2g} > 1 :$$ il faut changer. Pour $n = 3$ et $g = 1$, on a $\mathrm{E}(G_{1}) = \frac{1}{3}$ et $\boxed{\mathrm{E}(G_{2}) = \frac{2}{3}}$. Comme $G_{1}$ et $G_{2}$ ne prennent que les valeurs $0$ et $1$, ce sont les probabilités de gagner : changer de porte double les chances. L'arbre suivant décrit ce cas.

Si le joueur a d'abord choisi la bonne porte, ce qui arrive une fois sur trois, changer le fait perdre ; sinon, le meneur, qui doit ouvrir une porte perdante, ouvre la seule qui reste, et changer fait gagner à coup sûr.

Piège. L'erreur la plus répandue est de dire qu'« il reste deux portes, donc une chance sur deux pour chacune ». Le choix du meneur n'est pas indépendant de celui du joueur : il ne dévoile jamais un gagnant ni un numéro tiré. C'est cette information qui rend la réserve des $n - 2g$ numéros restants plus riche en gagnants que l'urne de départ ; le gain relatif, $\frac{n - g}{n - 2g}$, est d'autant plus grand que $g$ est proche de $\frac{n}{3}$.