Exercice 108

Idée. On découpe $\mathbb{N}^{*}$ en blocs $\llbracket m^{2}\,,(m + 1)^{2} - 1 \rrbracket$, sur lesquels la partie entière de $\sqrt{k}$ vaut $m$. Dans un bloc, la première décimale de $\sqrt{k}$ vaut $1$ lorsque $(m + 0{,}1)^{2} \leqslant k < (m + 0{,}2)^{2}$ : environ $0{,}2m$ entiers sur les $2m + 1$ du bloc, soit un dixième. Le bloc en cours n'a qu'environ $2\sqrt{n}$ éléments, négligeable devant $n$.

Le cadre. On a $p_{n} = \frac{N(n)}{n}$, où $N(n)$ est le nombre d'entiers $k \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$ dont la première décimale de $\sqrt{k}$ vaut $1$, c'est-à-dire tels que $\sqrt{k} - \lfloor \sqrt{k} \rfloor \in [0{,}1\,,0{,}2[$.

Comptage dans un bloc. Soit $m \geqslant 1$ et $c_{m}$ le nombre d'entiers $k$ tels que $\lfloor \sqrt{k} \rfloor = m$ et dont la première décimale de $\sqrt{k}$ vaut $1$. Par croissance stricte de la racine carrée, ce sont les entiers de l'intervalle $$\big[(m + 0{,}1)^{2}\,,(m + 0{,}2)^{2}\big[ \; = \; \big[m^{2} + 0{,}2m + 0{,}01\,,m^{2} + 0{,}4m + 0{,}04\big[,$$ de longueur $0{,}2m + 0{,}03$. Un intervalle $[\alpha\,,\beta[$ de longueur $\lambda$ contient $\lceil\beta\rceil - \lceil\alpha\rceil$ entiers, nombre compris strictement entre $\lambda - 1$ et $\lambda + 1$. Ainsi $$\frac{m}{5} - 1 < c_{m} < \frac{m}{5} + 2,$$ ce que confirme le calcul pour $m < 3\,000$ ✓.

Encadrement. Soit $n \geqslant 1$ et $M = \lfloor \sqrt{n} \rfloor \geqslant 1$, de sorte que $M^{2} \leqslant n < (M + 1)^{2}$. Les blocs $m = 1$, …, $M - 1$ sont contenus dans $\llbracket 1\,,n \rrbracket$, et $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ est contenu dans la réunion des blocs $m = 1$, …, $M$. Avec la somme des entiers du chapitre 3, $$N(n) \geqslant \sum_{m=1}^{M-1} \Big(\frac{m}{5} - 1\Big) = \frac{M(M - 1)}{10} - (M - 1), \qquad N(n) \leqslant \sum_{m=1}^{M} \Big(\frac{m}{5} + 2\Big) = \frac{M(M + 1)}{10} + 2M.$$ En divisant par $n$, avec $M^{2} \leqslant n < (M + 1)^{2}$, et pour $M \geqslant 10$, de sorte que le minorant de $N(n)$ soit positif, $$\frac{M(M - 1) - 10(M - 1)}{10(M + 1)^{2}} \leqslant p_{n} \leqslant \frac{M(M + 1) + 20M}{10M^{2}}.$$

Conclusion. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $M > \sqrt{n} - 1$ tend vers $+\infty$, et les deux membres extrêmes tendent vers $\frac{1}{10}$. Par le théorème des gendarmes, $$\boxed{\text{la suite } (p_{n}) \text{ converge, et } \lim_{n \to +\infty} p_{n} = \frac{1}{10}}$$ Le calcul exact donne $p_{10^{3}} = 0{,}099$, $p_{10^{5}} = 0{,}100\,17$ et $p_{10^{6}} = 0{,}099\,9$ ✓. La suite n'est pas monotone : dans chaque bloc, elle augmente sur la portion favorable puis diminue, mais l'amplitude de ces oscillations est en $O\big(\frac{1}{M}\big)$.

Remarque. Le même calcul montre que chacun des dix chiffres est, à la limite, la première décimale de $\sqrt{k}$ avec la probabilité $\frac{1}{10}$, puisque l'intervalle correspondant au chiffre $c$ a pour longueur $0{,}2m + \frac{2c + 1}{100}$. Ce n'est pas un phénomène général : la proportion des entiers de $\llbracket 1\,,n \rrbracket$ dont le premier chiffre vaut $1$ n'a pas de limite. Elle vaut environ $\frac{1}{9}$ pour $n = 10^{6} - 1$, et environ $\frac{5}{9}$ pour $n = 2 \times 10^{6} - 1$ ✓, car les blocs de nombres de même longueur ont des tailles qui croissent géométriquement : le dernier bloc n'est plus négligeable devant les précédents. Ici, c'est la croissance seulement linéaire de la longueur $2m + 1$ des blocs qui rend le bloc en cours négligeable.