Exercice 109

Idée. Pour $n = 1$, un calcul direct donne $\operatorname{Cov}\big(f(T_{1}), g(T_{1})\big) = p(1 - p)\big(f(1) - f(0)\big)\big(g(1) - g(0)\big) \geqslant 0$. Pour passer de $n - 1$ à $n$, on fixe la dernière coordonnée : à $T_{n}$ fixé, les deux fonctions restent croissantes en les $n - 1$ premières variables, et leurs moyennes en ces variables sont des fonctions croissantes de la dernière.

On note $p_{i}$ le paramètre de $T_{i}$, et l'on doit montrer que $\mathrm{E}(fg) \geqslant \mathrm{E}(f)\,\mathrm{E}(g)$, où $\mathrm{E}(f)$ abrège $\mathrm{E}\big(f(T_{1}, \dots, T_{n})\big)$ (proposition 23 (i)). Pour $t' \in \{0, 1\}^{n-1}$ et $x \in \{0, 1\}$, on note $(t', x)$ l'élément de $\{0, 1\}^{n}$ obtenu en ajoutant $x$ à la fin de $t'$.

Le cas $n = 1$. Soit $f$ et $g$ croissantes sur $\{0, 1\}$, et $p = p_{1}$, $q = 1 - p$. La formule de transfert donne $$\mathrm{E}(fg) - \mathrm{E}(f)\,\mathrm{E}(g) = p f(1)g(1) + q f(0)g(0) - \big(pf(1) + qf(0)\big)\big(pg(1) + qg(0)\big).$$ En utilisant $p - p^{2} = q - q^{2} = pq$, on obtient $$\mathrm{E}(fg) - \mathrm{E}(f)\,\mathrm{E}(g) = pq\big(f(1)g(1) + f(0)g(0) - f(1)g(0) - f(0)g(1)\big) = pq\big(f(1) - f(0)\big)\big(g(1) - g(0)\big),$$ qui est positif, puisque $f(1) \geqslant f(0)$ et $g(1) \geqslant g(0)$.

Un lemme de « conditionnement ». Soit $n \geqslant 2$, $T' = (T_{1}, \dots, T_{n-1})$ et $h : \{0, 1\}^{n} \to \mathbb{R}$. Les variables $T'$ et $T_{n}$ sont indépendantes (théorème 7), donc la loi du couple $(T', T_{n})$ est le produit de ses lois marginales (proposition 15), et la formule de transfert donne $$\mathrm{E}\big(h(T', T_{n})\big) = \sum_{t', x} h(t', x)\,\mathrm{P}(T' = t')\,\mathrm{P}(T_{n} = x) = \sum_{x \in \{0, 1\}} \mathrm{P}(T_{n} = x)\,\mathrm{E}\big(h(T', x)\big). \tag{L}$$ C'est une moyenne pondérée, sur les valeurs de $T_{n}$, d'espérances calculées à $T_{n}$ fixé.

Hérédité. Soit $n \geqslant 2$ ; supposons le résultat vrai pour $n - 1$ variables de Bernoulli indépendantes quelconques. Soit $f$ et $g$ croissantes sur $\{0, 1\}^{n}$. Pour $x \in \{0, 1\}$, les fonctions $f_{x} : t' \mapsto f(t', x)$ et $g_{x} : t' \mapsto g(t', x)$ sont croissantes sur $\{0, 1\}^{n-1}$, et les variables $T_{1}$, …, $T_{n-1}$ sont mutuellement indépendantes (proposition 15). L'hypothèse de récurrence donne $$\mathrm{E}\big(f_{x}(T')\,g_{x}(T')\big) \geqslant F(x)\,G(x), \qquad\text{où}\quad F(x) = \mathrm{E}\big(f(T', x)\big), \quad G(x) = \mathrm{E}\big(g(T', x)\big).$$ Les fonctions $F$ et $G$ sont croissantes sur $\{0, 1\}$ : pour tout $t'$, $(t', 0) \leqslant (t', 1)$, donc $f(t', 0) \leqslant f(t', 1)$, et la croissance de l'espérance donne $F(0) \leqslant F(1)$ ; de même pour $G$. Le lemme (L), appliqué à $h = fg$, puis l'hypothèse de récurrence, multipliée par les poids positifs $\mathrm{P}(T_{n} = x)$, donnent $$\mathrm{E}(fg) = \sum_{x} \mathrm{P}(T_{n} = x)\,\mathrm{E}\big(f_{x}(T')\,g_{x}(T')\big) \geqslant \sum_{x} \mathrm{P}(T_{n} = x)\,F(x)G(x) = \mathrm{E}\big(F(T_{n})\,G(T_{n})\big).$$ Le cas $n = 1$, appliqué à $F$, $G$ et à la variable $T_{n}$, donne ensuite $$\mathrm{E}\big(F(T_{n})\,G(T_{n})\big) \geqslant \mathrm{E}\big(F(T_{n})\big)\,\mathrm{E}\big(G(T_{n})\big) = \mathrm{E}(f)\,\mathrm{E}(g),$$ la dernière égalité étant le lemme (L) appliqué à $h = f$ et à $h = g$. Ainsi $\mathrm{E}(fg) \geqslant \mathrm{E}(f)\,\mathrm{E}(g)$, et, par récurrence sur $n$, $$\boxed{\operatorname{Cov}\big(f(T_{1}, \dots, T_{n}), g(T_{1}, \dots, T_{n})\big) \geqslant 0 \ \text{ pour toutes } f, g \text{ croissantes}}$$ L'inégalité a été testée sur $300$ couples de fonctions croissantes tirées au hasard, avec $n \leqslant 4$ et des paramètres quelconques ✓.

Remarques.

• L'hypothèse d'indépendance est indispensable. Si $T_{1}$ suit la loi $\mathcal{B}(\frac{1}{2})$ et $T_{2} = 1 - T_{1}$, les variables $T_{1}$ et $T_{2}$ sont croissantes, puisque ce sont les images de $(T_{1}, T_{2})$ par les deux projections, qui sont croissantes pour l'ordre produit. Mais $T_{1}T_{2} = 0$, et $\operatorname{Cov}(T_{1}, T_{2}) = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.

• Avec des indicatrices, le résultat s'écrit $\mathrm{P}(A \cap B) \geqslant \mathrm{P}(A)\,\mathrm{P}(B)$ pour deux événements croissants, c'est-à-dire stables quand on fait passer des coordonnées de $0$ à $1$. Pour le graphe aléatoire de la section 21.6.3, dont les arêtes sont des variables de Bernoulli indépendantes, « le graphe contient un triangle » et « le graphe est connexe » sont croissants : ces deux événements sont positivement corrélés, sans aucun calcul.

• Le cas $n = 1$ est celui de l'exemple du cours qui suit la proposition 23 : deux fonctions croissantes d'une même variable ont une covariance positive. L'inégalité de Harris l'étend à plusieurs variables indépendantes ; elle a été généralisée par Fortuin, Kasteleyn et Ginibre à des lois non produits (inégalité FKG).