Exercice 77

On modélise les $n$ lancers par l'univers $\Omega = \{P, F\}^{n}$, muni de la probabilité qui donne à une suite comportant $j$ piles la probabilité $p^{j}q^{n-j}$ : par la proposition 17, les résultats des lancers sont alors mutuellement indépendants, et chacun donne pile avec la probabilité $p$.

1. Une $n$-chaîne de piles occupe tous les lancers ; elle existe si et seulement si tous les lancers donnent pile. Ainsi $Y_{n}$ prend les valeurs $0$ et $1$, et $\mathrm{P}(Y_{n} = 1) = p^{n}$ : $$\boxed{Y_{n} \sim \mathcal{B}(p^{n}), \qquad \mathrm{E}(Y_{n}) = p^{n}}$$

2. Deux chaînes distinctes sont séparées par au moins un face ; deux $(n - 1)$-chaînes occuperaient donc au moins $2(n - 1) + 1 = 2n - 1 > n$ lancers. Il y a donc au plus une $(n - 1)$-chaîne, et $Y_{n-1}$ prend les valeurs $0$ et $1$. Une $(n - 1)$-chaîne occupe soit les lancers $1$ à $n - 1$, et elle est suivie d'un face au lancer $n$, soit les lancers $2$ à $n$, et elle est précédée d'un face au lancer $1$. Ces deux cas sont les issues $P \cdots PF$ et $FP \cdots P$, distinctes, d'où $$\boxed{\mathrm{P}(Y_{n-1} = 1) = 2qp^{n-1}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\mathrm{E}(Y_{n-1}) = 2qp^{n-1}}$$

3. (a) Soit $k \in \llbracket 1\,,n - 2 \rrbracket$. Une $k$-chaîne commence au lancer $1$ si et seulement si les lancers $1$ à $k$ donnent pile et le lancer $k + 1$, qui existe puisque $k + 1 \leqslant n$, donne face. De même, une $k$-chaîne commence au lancer $n - k + 1$ si et seulement si les $k$ derniers lancers donnent pile et le lancer $n - k \geqslant 1$ donne face. Par indépendance, $$\boxed{\mathrm{P}(X_{1,k} = 1) = \mathrm{P}(X_{n-k+1,k} = 1) = qp^{k}}$$ Pour $i \in \llbracket 2\,,n - k \rrbracket$, une $k$-chaîne commence au lancer $i$ si et seulement si le lancer $i - 1$ donne face, les lancers $i$ à $i + k - 1$ donnent pile, et le lancer $i + k \leqslant n$ donne face : $\boxed{\mathrm{P}(X_{i,k} = 1) = q^{2}p^{k}}$.

(b) Chaque $k$-chaîne a un premier lancer, d'indice $i \in \llbracket 1\,,n - k + 1 \rrbracket$, et deux chaînes distinctes commencent à des lancers distincts : $Y_{k} = \sum_{i=1}^{n-k+1} X_{i,k}$. Les variables $X_{i,k}$ suivent des lois de Bernoulli, et la linéarité donne, avec les deux extrémités et les $n - k - 1$ positions intérieures, $$\boxed{\mathrm{E}(Y_{k}) = 2qp^{k} + (n - k - 1)q^{2}p^{k}, \qquad k \in \llbracket 1\,,n - 2 \rrbracket}$$ Pour l'exemple de l'énoncé, l'issue $PPFFPPPFPFP$ a bien $X_{1,2} = 1$, $X_{5,3} = 1$, $X_{9,1} = 1$ et $X_{11,1} = 1$, d'où $Y_{2} = Y_{3} = 1$ et $Y_{1} = 2$. Les trois formules ont été vérifiées par énumération pour $n \leqslant 7$, avec $p = \frac{1}{3}$ et $p = \frac{1}{2}$ ✓. La formule de la question 3 reste vraie pour $k = n - 1$, où le second terme est nul, mais pas pour $k = n$, puisqu'une $n$-chaîne n'est entourée d'aucun face.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'oublier les effets de bord : une chaîne placée au début ou à la fin n'a besoin que d'un face pour être délimitée, d'où le facteur $q$ au lieu de $q^{2}$.