Exercice 78

Pour $i \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$, soit $M_{i}$ l'indicatrice de l'événement « la vache $i$ est malade » ; les $M_{i}$ sont mutuellement indépendantes, de loi $\mathcal{B}(0{,}15)$, et l'on n'a pas besoin de décrire l'univers (proposition 17).

1. Si aucune vache n'est malade, la seconde méthode demande une analyse ; sinon, elle en demande $1 + n$. L'événement « aucune vache n'est malade » est $(M_{1} = 0, \dots, M_{n} = 0)$, de probabilité $0{,}85^{n}$ par indépendance. La variable $Y_{n}$ prend donc deux valeurs : $$\boxed{\mathrm{P}\Big(Y_{n} = \frac{1}{n}\Big) = 0{,}85^{n}, \qquad \mathrm{P}\Big(Y_{n} = 1 + \frac{1}{n}\Big) = 1 - 0{,}85^{n}}$$ et $$\mathrm{E}(Y_{n}) = \frac{1}{n}\,0{,}85^{n} + \Big(1 + \frac{1}{n}\Big)(1 - 0{,}85^{n}), \qquad \boxed{\mathrm{E}(Y_{n}) = 1 + \frac{1}{n} - 0{,}85^{n}}$$

2. La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0\,,+\infty\right[$, et $f'(x) = a + \frac{1}{x}$, du signe de $1 + ax$, puisque $x > 0$. Comme $a < 0$, $f'$ s'annule en $x_{0} = -\frac{1}{a} \approx 6{,}15$, et $$\boxed{f \text{ croît sur } \left]0\,,x_{0}\right] \text{ et décroît sur } \left[x_{0}\,,+\infty\right[, \qquad x_{0} = -\frac{1}{\ln(0{,}85)} \approx 6{,}15}$$ De plus $f(x) \to -\infty$ quand $x \to 0$, et aussi quand $x \to +\infty$, puisque $\ln x = o(x)$ (chapitre 10) ; le maximum vaut $f(x_{0}) = -1 + \ln(x_{0}) \approx 0{,}817 > 0$. Par stricte monotonie de part et d'autre de $x_{0}$, l'ensemble des $x$ tels que $f(x) > 0$ est un intervalle ouvert qui contient $x_{0}$. Or $f(n) > 0$ équivaut à $n\,0{,}85^{n} > 1$, et $$2 \times 0{,}85^{2} = 1{,}445 > 1, \qquad 17 \times 0{,}85^{17} \approx 1{,}073 > 1, \qquad 18 \times 0{,}85^{18} \approx 0{,}966 < 1.$$ Comme $2 < x_{0} < 17$, la monotonie de $f$ sur $[2\,,x_{0}]$ et sur $[x_{0}\,,17]$ donne $f(x) \geqslant \min\big(f(2), f(17)\big) > 0$ sur $[2\,,17]$, puis $f(n) \leqslant f(18) < 0$ pour $n \geqslant 18$, par décroissance : $$\boxed{f(n) > 0 \iff n \in \llbracket 2\,,17 \rrbracket}$$

3. Par la question 1, $\mathrm{E}(Y_{n}) < 1 \iff \frac{1}{n} < 0{,}85^{n} \iff -\ln n < n\ln(0{,}85) \iff f(n) > 0$, la fonction $\ln$ étant strictement croissante. La seconde méthode demande en moyenne moins d'une analyse par vache, et elle est donc avantageuse en moyenne, $\boxed{\text{pour les troupeaux de } 2 \text{ à } 17 \text{ vaches}}$.

Pour l'effectif optimal, on calcule $$\begin{array}{c|cccccc} n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \mathrm{E}(Y_{n}) & 0{,}7775 & 0{,}7192 & 0{,}7280 & 0{,}7563 & 0{,}7895 & 0{,}8223 \end{array}$$ les valeurs autres que la première étant arrondies. Pour $n \geqslant 8$, on a $0{,}85^{n} \leqslant 0{,}85^{8}$, donc $$\mathrm{E}(Y_{n}) > 1 - 0{,}85^{n} \geqslant 1 - 0{,}85^{8} \approx 0{,}7275 > \mathrm{E}(Y_{3}).$$ Ainsi l'effectif $n = 3$ minimise le nombre moyen d'analyses par vache : $$\boxed{n = 3, \qquad \mathrm{E}(Y_{3}) = 1 + \frac{1}{3} - 0{,}85^{3} \approx 0{,}719}$$ En regroupant les vaches par trois, on économise en moyenne $28\,\%$ des analyses.

Les points bleus, de $n = 2$ à $n = 17$, sont sous la droite rouge d'ordonnée $1$, qui représente la première méthode : le regroupement y est avantageux ; à partir de $n = 18$, en ocre, il ne l'est plus. Le minimum, entouré, est atteint pour $n = 3$, bien avant le maximum $x_{0} \approx 6{,}15$ de $f$, qui ne mesure que le signe de $1 - \mathrm{E}(Y_{n})$, et non sa valeur.

Piège. L'erreur la plus répandue est de chercher l'effectif optimal en maximisant $f$, ce qui donnerait $n = 6$ : la fonction $f$ ne sert qu'à comparer $\mathrm{E}(Y_{n})$ à $1$, et la quantité à minimiser est $\frac{1}{n} - 0{,}85^{n}$, qui n'a pas les mêmes variations.