Exercice 63

Modèle. On munit $\Omega = \llbracket -n\,,n \rrbracket^{4}$ de la probabilité uniforme, chaque quadruplet $(a, b, c, d)$ ayant la probabilité $\frac{1}{(2n + 1)^{4}}$ ; c'est le modèle de la proposition 17 pour quatre tirages indépendants uniformes. La matrice n'est pas inversible si et seulement si son déterminant $ad - bc$ est nul (chapitre 17).

Majoration. L'événement $(ad = bc)$ est contenu dans la réunion des événements $(a = 0)$ et $(a \neq 0,\ ad = bc)$. Le premier a la probabilité $\frac{(2n + 1)^{3}}{(2n + 1)^{4}} = \frac{1}{2n + 1}$. Pour le second, on fixe $(a, b, c)$ avec $a \neq 0$ : l'égalité $ad = bc$ impose $d = \frac{bc}{a}$, et il y a au plus un $d$ convenable. Il y a $2n(2n + 1)^{2}$ triplets $(a, b, c)$ avec $a \neq 0$, donc l'événement contient au plus $2n(2n + 1)^{2}$ issues, et $$\mathrm{P}(a \neq 0,\ ad = bc) \leqslant \frac{2n(2n + 1)^{2}}{(2n + 1)^{4}} = \frac{2n}{(2n + 1)^{2}} \leqslant \frac{1}{2n + 1}.$$ Par la sous-additivité (proposition 7 (iv)), $$\boxed{1 - p(n) = \mathrm{P}(ad - bc = 0) \leqslant \frac{2}{2n + 1}} \qquad\text{d'où}\qquad 1 - \frac{2}{2n + 1} \leqslant p(n) \leqslant 1, \qquad \boxed{\lim_{n \to +\infty} p(n) = 1}$$ par encadrement. Les valeurs exactes, obtenues par énumération, confirment la majoration : $1 - p(n)$ vaut $\frac{11}{27} \approx 0{,}407$ pour $n = 1$ (majorant $\frac{2}{3}$), $\frac{129}{625} \approx 0{,}206$ pour $n = 2$ (majorant $0{,}4$) et $\frac{833}{14\,641} \approx 0{,}057$ pour $n = 5$ (majorant $\frac{2}{11} \approx 0{,}18$).

À retenir. Une matrice à coefficients entiers pris au hasard dans un grand intervalle est presque sûrement inversible : être non inversible impose une relation entre les coefficients, qui détermine l'un d'eux en fonction des autres. La distinction selon $a$ sert à pouvoir diviser par $a$ ; sans elle, l'équation $0 \cdot d = bc$ laisserait $d$ libre, et la majoration par « au plus une valeur de $d$ » tomberait.