Exercice 62

On note $a_{i} = \mathrm{P}(X = i)$ et $b_{j} = \mathrm{P}(Y = j)$ pour $i$, $j \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$, et $a$, $b$ les colonnes correspondantes. La proposition 15, appliquée aux valeurs $(i, j) \in \llbracket 1\,,n \rrbracket^{2}$, donne $$X \perp\!\!\!\perp Y \iff m_{i,j} = a_{i}b_{j} \text{ pour tous } i, j \iff \boxed{M = a\,b^{T}}$$ On peut remplacer $X(\Omega) \times Y(\Omega)$ par $\llbracket 1\,,n \rrbracket^{2}$ : si $a_{i} = 0$, alors $0 \leqslant m_{i,j} \leqslant a_{i}$ donne $m_{i,j} = 0 = a_{i}b_{j}$, et de même si $b_{j} = 0$.

Condition nécessaire. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $M = ab^{T}$, et les colonnes $a$ et $b$ sont non nulles, puisque leurs coefficients ont pour somme $1$. Par l'exercice 43 de la feuille du chapitre 16, $M$ est de rang $1$.

Condition suffisante. Si $M$ est de rang $1$, l'exercice 43 fournit deux colonnes non nulles $U$ et $V$ telles que $M = UV^{T}$, soit $m_{i,j} = u_{i}v_{j}$. On note $\sigma_{U} = \sum_{i} u_{i}$ et $\sigma_{V} = \sum_{j} v_{j}$. Par la proposition 14, les lois marginales sont les sommes des lignes et des colonnes de $M$ : $$a_{i} = \sum_{j=1}^{n} u_{i}v_{j} = \sigma_{V}\,u_{i}, \qquad b_{j} = \sigma_{U}\,v_{j}, \qquad 1 = \sum_{i,j} m_{i,j} = \sigma_{U}\sigma_{V}.$$ Donc $a_{i}b_{j} = \sigma_{U}\sigma_{V}\,u_{i}v_{j} = m_{i,j}$ pour tous $i$, $j$, et $X$ et $Y$ sont indépendantes. $$\boxed{\mathrm{rg}(M) = 1 \iff X \perp\!\!\!\perp Y}$$ Le rang de $M$ n'est jamais nul, puisque la somme de ses coefficients vaut $1$ : la dépendance se traduit donc par un rang au moins égal à $2$. Dans l'exemple de la section 21.5.4, la loi conjointe du tirage avec remise est la matrice dont tous les coefficients valent $\frac{1}{9}$, de rang $1$, et celle du tirage sans remise, de coefficients $0$ sur la diagonale et $\frac{1}{6}$ ailleurs, est de rang $3$ ✓.

Piège. Les colonnes $U$ et $V$ fournies par l'exercice 43 ne sont pas les lois marginales : elles ne sont définies qu'à un facteur près, puisque $UV^{T} = (\lambda U)(\lambda^{-1}V)^{T}$, et peuvent avoir des coefficients négatifs. C'est la normalisation $\sigma_{U}\sigma_{V} = 1$, imposée par la somme des probabilités, qui permet de revenir aux marges.