Exercice 61

Modèle. On note $E = \llbracket 1\,,n \rrbracket$. Par indépendance (proposition 15), le $r$-uplet $(X_{1}, \dots, X_{r})$ suit la loi uniforme sur $\mathcal{P}(E)^{r}$, chaque $r$-uplet ayant la probabilité $\big(\frac{1}{2^{n}}\big)^{r}$.

1. Le couple $(X_{1}, X_{2})$ suit la loi uniforme sur les $4^{n}$ couples de parties de $E$. L'exercice 39 de la feuille du chapitre 1 a dénombré $3^{n}$ couples $(X, Y)$ tels que $X \subset Y$, et $3^{n}$ tels que $X \cap Y = \varnothing$ ; la question 3 de l'exercice 10 en a dénombré $n\,3^{n-1}$ tels que $X \cap Y$ soit un singleton. D'où $$\boxed{\mathrm{P}(X_{1} \subset X_{2}) = \Big(\frac{3}{4}\Big)^{n}, \qquad \mathrm{P}(X_{1} \cap X_{2} = \varnothing) = \Big(\frac{3}{4}\Big)^{n}, \qquad \mathrm{P}\big(|X_{1} \cap X_{2}| = 1\big) = \frac{n\,3^{n-1}}{4^{n}}}$$ Les deux premières probabilités sont égales, ce qui s'explique : $X_{2} \mapsto E \setminus X_{2}$ est une bijection de $\mathcal{P}(E)$, qui conserve la loi uniforme, et $X_{1} \subset X_{2}$ équivaut à $X_{1} \cap (E \setminus X_{2}) = \varnothing$. Toutes trois tendent vers $0$ : deux parties prises au hasard sont rarement emboîtées.

2. L'application $X \mapsto (\mathbf{1}_{X}(1), \dots, \mathbf{1}_{X}(n))$ est une bijection de $\mathcal{P}(E)$ sur $\{0, 1\}^{n}$ (chapitre 2). La loi uniforme sur $\mathcal{P}(E)^{r}$ correspond donc à la loi uniforme sur $\{0, 1\}^{nr}$, et, par la proposition 17, les $nr$ variables $\mathbf{1}_{X_{j}}(i)$, pour $i \in E$ et $j \in \llbracket 1\,,r \rrbracket$, sont mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{B}(\frac{1}{2})$. Pour $i \in E$, on pose $$Z_{i} = \mathbf{1}_{X_{1} \cap \cdots \cap X_{r}}(i) = \prod_{j=1}^{r} \mathbf{1}_{X_{j}}(i).$$ Chaque $Z_{i}$ vaut $1$ si et seulement si les $r$ facteurs valent $1$, avec la probabilité $2^{-r}$ par indépendance : $Z_{i} \sim \mathcal{B}(2^{-r})$. Les variables $Z_{1}$, …, $Z_{n}$ sont des fonctions des paquets disjoints $\big(\mathbf{1}_{X_{j}}(i)\big)_{1 \leqslant j \leqslant r}$, donc mutuellement indépendantes par le lemme des coalitions (théorème 7). Enfin $|X_{1} \cap \cdots \cap X_{r}| = Z_{1} + \cdots + Z_{n}$, et le théorème 8 conclut : $$\boxed{|X_{1} \cap X_{2} \cap \cdots \cap X_{r}| \sim \mathcal{B}(n,2^{-r})}$$ Pour $r = 2$, on retrouve $\mathrm{P}(|X_{1} \cap X_{2}| = 0) = \big(\frac{3}{4}\big)^{n}$ et $\mathrm{P}(|X_{1} \cap X_{2}| = 1) = n \cdot \frac{1}{4}\big(\frac{3}{4}\big)^{n-1}$, conformément à la question 1 ✓. Avec $r = 1$, le même raisonnement montre que le cardinal d'une partie uniforme suit la loi $\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})$.

3. Il y a $4^{n} - 2^{n}$ couples de parties distinctes, et, parmi les $3^{n}$ couples tels que $A \subset B$, les $2^{n}$ couples $(A, A)$ sont exclus : $$\boxed{\mathrm{P}(A \subset B) = \frac{3^{n} - 2^{n}}{4^{n} - 2^{n}}}$$ Pour $n = 1$, on obtient $\frac{1}{2}$, contre $\frac{3}{4}$ à la question 1, et pour $n = 4$, $\frac{13}{48} \approx 0{,}271$ contre $\frac{81}{256} \approx 0{,}316$. Cette probabilité est toujours strictement inférieure à $\big(\frac{3}{4}\big)^{n}$, puisque $$4^{n}(3^{n} - 2^{n}) - 3^{n}(4^{n} - 2^{n}) = 6^{n} - 8^{n} < 0 :$$ le tirage sans remise exclut les couples $(A, A)$, qui réalisent tous l'inclusion. Le rapport des deux probabilités tend vers $1$, puisque $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ et $\frac{2^{n}}{4^{n}}$ tendent vers $0$ : pour $n$ grand, tirer avec ou sans remise revient presque au même, car deux tirages avec remise coïncident rarement.