Exercice 64

1. Supposons $ab = cd = \lambda$. Comme $(ac - bd)^{2} \geqslant 0$, on a $$(ac + bd)^{2} = (ac - bd)^{2} + 4abcd \geqslant 4(ab)(cd) = 4\lambda^{2}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{ac + bd \geqslant 2\lambda > \lambda}$$ puisque $ac + bd > 0$ et $\lambda > 0$. Les trois conditions sont donc incompatibles.

2. Supposons que $X$ et $Y$, indépendantes et à valeurs dans $\llbracket 0\,,n \rrbracket$, aient une somme $S = X + Y$ de loi uniforme sur $\llbracket 0\,,2n \rrbracket$, et notons $\lambda = \frac{1}{2n + 1}$. On pose $$a = \mathrm{P}(X = 0), \qquad d = \mathrm{P}(X = n), \qquad b = \mathrm{P}(Y = 0), \qquad c = \mathrm{P}(Y = n).$$

• La somme vaut $0$ si et seulement si $X = Y = 0$, d'où $\lambda = \mathrm{P}(S = 0) = ab$ par indépendance.

• La somme vaut $2n$ si et seulement si $X = Y = n$, d'où $\lambda = \mathrm{P}(S = 2n) = dc$.

• Les événements $(X = 0, Y = n)$ et $(X = n, Y = 0)$ sont incompatibles, puisque $n \geqslant 1$, et contenus dans $(S = n)$ : $\lambda = \mathrm{P}(S = n) \geqslant ac + db$.

Les deux premières égalités montrent que $a$, $b$, $c$, $d$ sont strictement positifs, et les trois conditions contredisent la question 1. $$\boxed{\text{il n'existe pas de variables indépendantes à valeurs dans } \llbracket 0\,,n \rrbracket \text{ de somme uniforme sur } \llbracket 0\,,2n \rrbracket}$$

3. Si deux dés pipés donnaient des résultats $D_{1}$ et $D_{2}$, indépendants, de somme uniforme sur $\llbracket 2\,,12 \rrbracket$, les variables $X = D_{1} - 1$ et $Y = D_{2} - 1$ seraient indépendantes (proposition 16), à valeurs dans $\llbracket 0\,,5 \rrbracket$, et leur somme $D_{1} + D_{2} - 2$ suivrait la loi uniforme sur $\llbracket 0\,,10 \rrbracket$, ce que la question 2, avec $n = 5$, interdit. $$\boxed{\text{on ne peut pas piper deux dés pour que la somme suive la loi uniforme sur } \llbracket 2\,,12 \rrbracket}$$ Le résultat vaut que les deux dés soient pipés de la même façon ou non. Une recherche numérique sur $20\,000$ couples de lois tirés au hasard le confirme : pour chacun, l'une des onze probabilités de la somme s'écarte de $\frac{1}{11}$ de plus de $0{,}05$ ✓.

À retenir. L'argument n'utilise que les trois valeurs extrêmes et centrale : les valeurs $0$ et $2n$ ne s'obtiennent que d'une façon, ce qui force $ab$ et $cd$ à être grands, et rend alors trop probable la valeur $n$. Il dépend de ce que $X$ et $Y$ ont le même intervalle de valeurs : si $X$ suit la loi uniforme sur $\{0, 1\}$ et $Y$ la loi uniforme sur $\{0, 2\}$, indépendantes, la somme suit la loi uniforme sur $\llbracket 0\,,3 \rrbracket$.