Exercice 65

Modèle. Après $k$ tirages, l'urne contient $k + 2$ boules, dont $N_{k}$ blanches. L'énoncé se traduit par $N_{0} = 1$ et, pour $j \in \llbracket 1\,,k + 1 \rrbracket$ tel que $\mathrm{P}(N_{k} = j) > 0$, $$\mathrm{P}_{(N_{k} = j)}(N_{k+1} = j + 1) = \frac{j}{k + 2}, \qquad \mathrm{P}_{(N_{k} = j)}(N_{k+1} = j) = \frac{k + 2 - j}{k + 2},$$ selon que la boule tirée est blanche ou noire.

Récurrence. Pour $k = 0$, $N_{0} = 1$ suit la loi uniforme sur $\llbracket 1\,,1 \rrbracket = \{1\}$. Supposons que $N_{k}$ suive la loi uniforme sur $\llbracket 1\,,k + 1 \rrbracket$. Comme $N_{k+1} \in \{N_{k}, N_{k} + 1\}$, la variable $N_{k+1}$ prend ses valeurs dans $\llbracket 1\,,k + 2 \rrbracket$. Soit $j \in \llbracket 1\,,k + 2 \rrbracket$. La formule des probabilités totales, appliquée au système complet $\big((N_{k} = i)\big)_{1 \leqslant i \leqslant k + 1}$, ne fait intervenir que $i = j - 1$ et $i = j$ : $$\mathrm{P}(N_{k+1} = j) = \frac{j - 1}{k + 2} \cdot \frac{1}{k + 1} + \frac{k + 2 - j}{k + 2} \cdot \frac{1}{k + 1} = \frac{k + 1}{(k + 2)(k + 1)}, \qquad \boxed{\mathrm{P}(N_{k+1} = j) = \frac{1}{k + 2}}$$ Aux bords, la formule reste exacte : pour $j = 1$, le terme $i = 0$ n'existe pas, mais son coefficient $\frac{j - 1}{k + 2}$ est nul ; pour $j = k + 2$, le terme $i = k + 2$ n'existe pas, et son coefficient $\frac{k + 2 - j}{k + 2}$ est nul. La récurrence est établie : $$\boxed{N_{k} \sim \mathcal{U}(\llbracket 1\,,k + 1 \rrbracket) \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}}$$

Chaque colonne représente les valeurs possibles de $N_{k}$, et chaque flèche ocre porte la probabilité de transition ; on lit la récurrence sur un nœud, par exemple $N_{3} = 2$, atteint depuis $N_{2} = 1$ avec la probabilité $\frac{1}{4}$ et depuis $N_{2} = 2$ avec la probabilité $\frac{2}{4}$, d'où $\frac{1}{3}\big(\frac{1}{4} + \frac{2}{4}\big) = \frac{1}{4}$.

À retenir. Le résultat contredit l'intuition : on s'attendrait à ce que la proportion de boules blanches se stabilise autour de $\frac{1}{2}$, puisque l'urne part équilibrée. Au contraire, la proportion $\frac{N_{k}}{k + 2}$ suit la loi uniforme sur l'ensemble des fractions $\frac{j}{k + 2}$, pour $j \in \llbracket 1\,,k + 1 \rrbracket$ : les premiers tirages, amplifiés par les ajouts, décident d'une proportion qui peut prendre presque n'importe quelle valeur. Après $n$ tirages tous blancs, l'urne contient $n + 1$ blanches parmi $n + 2$ boules, et le tirage suivant est blanc avec la probabilité $\frac{n + 1}{n + 2}$ : c'est exactement la limite trouvée dans l'exercice 53 pour la loi de succession de Laplace. Les deux expériences sont en effet très proches : dans l'urne de Pólya comme dans le choix d'une urne au hasard, la proportion de boules blanches est inconnue et uniforme, et chaque tirage en informe.