Exercice 97

Les variables $Y_{i} = X_{i} - m$ sont mutuellement indépendantes (proposition 16) et de même loi (proposition 13), et centrées par linéarité.

1. Comme $x \mapsto x^{4}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_{+}$, les événements $\big(|S_{n}| \geqslant n\varepsilon\big)$ et $\big(S_{n}^{4} \geqslant n^{4}\varepsilon^{4}\big)$ sont égaux. L'inégalité de Markov (théorème 14), appliquée à la variable positive $S_{n}^{4}$ avec $a = n^{4}\varepsilon^{4} > 0$, donne $$\boxed{\mathrm{P}\Big(\Big|\frac{S_{n}}{n}\Big| \geqslant \varepsilon\Big) \leqslant \frac{\mathrm{E}(S_{n}^{4})}{\varepsilon^{4}n^{4}}}$$ C'est la démonstration de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, avec la puissance $4$ au lieu de la puissance $2$.

2. On développe le produit de quatre sommes (chapitre 3), puis on applique la linéarité de l'espérance : $$S_{n}^{4} = \sum_{(i,j,k,\ell) \in \llbracket 1\,,n \rrbracket^{4}} Y_{i}Y_{j}Y_{k}Y_{\ell}, \qquad \mathrm{E}(S_{n}^{4}) = \sum_{(i,j,k,\ell)} \mathrm{E}(Y_{i}Y_{j}Y_{k}Y_{\ell}).$$ Dans un quadruplet $(i, j, k, \ell)$, regroupons les indices égaux : si $a_{1}$, …, $a_{r}$ sont les valeurs distinctes, de multiplicités $m_{1}$, …, $m_{r}$, de somme $4$, le produit vaut $Y_{a_{1}}^{m_{1}} \cdots Y_{a_{r}}^{m_{r}}$. Ces $r$ facteurs sont mutuellement indépendants (propositions 15 et 16), et la proposition 20 donne $$\mathrm{E}(Y_{i}Y_{j}Y_{k}Y_{\ell}) = \mathrm{E}\big(Y_{a_{1}}^{m_{1}}\big) \cdots \mathrm{E}\big(Y_{a_{r}}^{m_{r}}\big).$$ Dès qu'une multiplicité vaut $1$, le facteur correspondant est $\mathrm{E}(Y_{a}) = 0$. Il ne reste que deux types de quadruplets :

• les quatre indices égaux, ce qui donne $n$ quadruplets, de contribution $\mu_{4}$ chacun ;

• deux valeurs distinctes, chacune deux fois : on choisit la paire de valeurs, de $\binom{n}{2}$ façons, puis les deux positions qui portent la plus petite, de $\binom{4}{2} = 6$ façons ; ces $6\binom{n}{2} = 3n(n - 1)$ quadruplets contribuent chacun $\mathrm{E}(Y_{a}^{2})\,\mathrm{E}(Y_{b}^{2}) = \sigma^{4}$.

$$\boxed{\mathrm{E}(S_{n}^{4}) = n\mu_{4} + 3n(n - 1)\sigma^{4}}$$ La formule a été vérifiée exactement pour $n \leqslant 4$, sur une loi à trois valeurs ✓. On en déduit $$0 \leqslant \frac{\mathrm{E}(S_{n}^{4})}{n^{4}} = \frac{\mu_{4}}{n^{3}} + \frac{3(n - 1)\sigma^{4}}{n^{3}} \leqslant \frac{\mu_{4} + 3\sigma^{4}}{n^{2}},$$ et la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge (chapitre 20, théorème 5) : $\boxed{\text{la série } \sum_{n \geqslant 1} \frac{\mathrm{E}(S_{n}^{4})}{n^{4}} \text{ converge}}$ par comparaison.

3. La loi faible des grands nombres (théorème 16) majore la même probabilité par $\frac{\sigma^{2}}{n\varepsilon^{2}}$, qui est en $O\big(\frac{1}{n}\big)$, alors que la question 1 donne un majorant en $O\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$. Si $\sigma > 0$, le rapport du second au premier est équivalent à $\frac{3\sigma^{2}}{n\varepsilon^{2}}$, qui tend vers $0$ : pour $n$ grand, la majoration par le moment d'ordre $4$ est bien meilleure. Elle est moins bonne pour $n$ petit. Pour des variables de loi $\mathcal{B}(\frac{1}{2})$, on a $\sigma^{2} = \frac{1}{4}$ et $\mu_{4} = \frac{1}{16}$ ; avec $\varepsilon = 0{,}1$, les deux majorants valent $$\frac{25}{n} \qquad\text{et}\qquad \frac{625(3n - 2)}{n^{3}},$$ et le second devient le meilleur à partir de $n = 75$ ✓ ; pour $n = 1\,000$, ils valent $0{,}025$ et environ $0{,}0019$.

À retenir. Plus on utilise un moment d'ordre élevé dans l'inégalité de Markov, plus la décroissance obtenue est rapide ; la proposition 24 et l'exercice 101 poussent l'idée jusqu'au bout avec l'exponentielle. La convergence de la série de la question 2 est le point de départ de la démonstration de la loi forte des grands nombres, qui porte sur une suite infinie de variables et dépasse le cadre des univers finis.