Exercice 96

On prend pour univers $\Omega = \{0, 1\}^{n}$, muni de la probabilité uniforme, et $X_{n}(\omega) = \omega$. Chaque issue a la probabilité $\frac{1}{2^{n}} = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{2}$ : c'est la probabilité produit de la proposition 17, construite avec $n$ fois la distribution uniforme sur $\{0, 1\}$. Les coordonnées $C_{1}$, …, $C_{n}$ de $X_{n}$ sont donc mutuellement indépendantes, de loi $\mathcal{B}(\frac{1}{2})$. Comme $C_{i}^{2} = C_{i}$, $$\lVert X_{n} \rVert^{2} = \sum_{i=1}^{n} C_{i}^{2} = \sum_{i=1}^{n} C_{i} = N_{n}, \qquad N_{n} \sim \mathcal{B}(n,\tfrac{1}{2})$$ par le théorème 8 : le carré de la norme est le nombre de coordonnées égales à $1$.

Comparaison des racines carrées. Pour $u \geqslant 0$, on a $\sqrt{u} + \sqrt{\frac{1}{2}} \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, donc $$\Big|\sqrt{u} - \frac{\sqrt{2}}{2}\Big| = \frac{\big|u - \frac{1}{2}\big|}{\sqrt{u} + \sqrt{\frac{1}{2}}} \leqslant \sqrt{2}\,\Big|u - \frac{1}{2}\Big|.$$

Conclusion. Avec $u = \frac{N_{n}}{n}$, on a $\frac{\lVert X_{n} \rVert}{\sqrt{n}} = \sqrt{u}$. Soit $\varepsilon > 0$. Par l'inégalité précédente, l'événement étudié est inclus dans $\big(\big|\frac{N_{n}}{n} - \frac{1}{2}\big| \geqslant \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\big)$, et la loi faible des grands nombres (théorème 16, cas binomial, avec $p(1 - p) = \frac{1}{4}$) donne $$\mathrm{P}\Big(\Big|\frac{\lVert X_{n} \rVert}{\sqrt{n}} - \frac{\sqrt{2}}{2}\Big| \geqslant \varepsilon\Big) \leqslant \mathrm{P}\Big(\Big|\frac{N_{n}}{n} - \frac{1}{2}\Big| \geqslant \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\Big) \leqslant \frac{1/4}{n\,\varepsilon^{2}/2},$$

$$\boxed{\mathrm{P}\Big(\Big|\frac{\lVert X_{n} \rVert}{\sqrt{n}} - \frac{\sqrt{2}}{2}\Big| \geqslant \varepsilon\Big) \leqslant \frac{1}{2n\varepsilon^{2}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$ Pour $\varepsilon = 0{,}05$ et $n = 1\,000$, la majoration vaut $0{,}2$, alors que la valeur exacte, calculée avec la loi binomiale, est de l'ordre de $9 \times 10^{-6}$ ✓.

Interprétation. Les sommets du cube $[0\,,1]^{n}$ sont les $2^{n}$ points de $\{0, 1\}^{n}$, et $X_{n}$ est un sommet choisi au hasard. Le résultat dit que, pour $n$ grand, la plupart des sommets sont à une distance de l'origine voisine de $\sqrt{\frac{n}{2}}$, à un facteur $1 \pm \varepsilon\sqrt{2}$ près : ils se concentrent près de la sphère de centre $O$ et de rayon $\sqrt{\frac{n}{2}}$, alors que les distances possibles s'étalent de $0$ à $\sqrt{n}$. On peut aussi le lire avec les angles du chapitre 19 : le cosinus de l'angle entre un sommet $x \neq 0$ et la grande diagonale $(1, \dots, 1)$ vaut $\frac{N_{n}}{\lVert x \rVert\sqrt{n}} = \frac{\lVert x \rVert}{\sqrt{n}}$, qui est proche de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ : vus de l'origine, presque tous les sommets font un angle voisin de $\frac{\pi}{4}$ avec la diagonale. Les deux extrémités de la diagonale, $0$ et $(1, \dots, 1)$, sont des sommets tout à fait atypiques.