Exercice 95

1. Par la proposition 19, $X_{n}$ a pour espérance $4n \times \frac{1}{2} = 2n$, et par la proposition 21, sa variance vaut $$\boxed{\mathrm{V}(X_{n}) = 4n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = n}$$

2. On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (théorème 15) à $X_{n}$, avec $\varepsilon = n > 0$ : $$\mathrm{P}\big(|X_{n} - 2n| \geqslant n\big) \leqslant \frac{\mathrm{V}(X_{n})}{n^{2}} = \frac{1}{n}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\mathrm{P}\big(|X_{n} - 2n| \geqslant n\big) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$ L'écart toléré, $n$, est proportionnel au nombre $4n$ d'épreuves, alors que l'écart type $\sqrt{n}$ n'en est qu'une racine carrée : c'est ce décalage d'échelle que traduit la loi faible des grands nombres.

3. L'événement $\big(|X_{n} - 2n| < n\big)$ est le contraire de l'événement de la question 2, et il est inclus dans $\big(|X_{n} - 2n| \leqslant n\big)$. Par croissance et passage au contraire (proposition 7 (ii) et (iii)), $$1 \geqslant \mathrm{P}\big(|X_{n} - 2n| \leqslant n\big) \geqslant 1 - \mathrm{P}\big(|X_{n} - 2n| \geqslant n\big) \geqslant 1 - \frac{1}{n},$$ et le théorème des gendarmes donne $\boxed{\mathrm{P}\big(|X_{n} - 2n| \leqslant n\big) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$. Or l'événement $\big(|X_{n} - 2n| \leqslant n\big)$ est $(n \leqslant X_{n} \leqslant 3n)$, et la loi binomiale donne $$\mathrm{P}\big(|X_{n} - 2n| \leqslant n\big) = \sum_{k=n}^{3n} \binom{4n}{k}\frac{1}{2^{k}}\,\frac{1}{2^{4n-k}} = \frac{x_{n}}{16^{n}}.$$ Le quotient $\frac{x_{n}}{16^{n}}$ tend donc vers $1$, c'est-à-dire $$\boxed{x_{n} = \sum_{k=n}^{3n} \binom{4n}{k} \underset{n \to +\infty}{\sim} 16^{n}}$$ Pour $n = 1$, on trouve $x_{1} = 4 + 6 + 4 = 14$, et $\frac{x_{1}}{16} = 0{,}875$ ; puis $\frac{x_{5}}{16^{5}} \approx 0{,}988$ et $\frac{x_{20}}{16^{20}} \approx 0{,}999\,997$ ✓. Comme $16^{n} = 2^{4n}$ est le nombre total de parties d'un ensemble à $4n$ éléments, le résultat dit que presque toutes ces parties ont entre le quart et les trois quarts des éléments.

Piège. Un équivalent se démontre par un quotient qui tend vers $1$, pas par une différence qui tend vers $0$ : ici $16^{n} - x_{n}$ tend vers $+\infty$, et pourtant $x_{n} \sim 16^{n}$. L'erreur la plus répandue est d'écrire $x_{n} - 16^{n} \to 0$, qui est faux.