Exercice 30

L'univers est $\Omega = \{\mathrm{P}, \mathrm{F}\}^{2n+1}$, ensemble des suites de résultats, muni de la probabilité uniforme puisque la pièce est équilibrée : $|\Omega| = 2^{2n+1}$.

1. L'application $s$ qui échange pile et face dans chaque lancer est une bijection de $\Omega$ sur lui-même, égale à sa réciproque. Elle échange l'événement $G$ « strictement plus de piles que de faces » et l'événement $G'$ « strictement plus de faces que de piles », qui ont donc le même cardinal (proposition 1 (i)). Comme $2n + 1$ est impair, il ne peut y avoir autant de piles que de faces : $G$ et $G'$ forment un système complet, et $\mathrm{P}(G) + \mathrm{P}(G') = 1$. $$\boxed{\mathrm{P}(G) = \frac{1}{2}}$$

2. Le $(n + 1)$-ième pile apparaît au $k$-ième lancer si et seulement si le $k$-ième lancer donne pile et si les $k - 1$ premiers en donnent exactement $n$. On choisit les rangs de ces $n$ piles parmi les $k - 1$ premiers, de $\binom{k - 1}{n}$ façons (théorème 2), puis les $2n + 1 - k$ derniers résultats librement : $$\boxed{\mathrm{P}(\text{le } (n+1)\text{-ième pile apparaît au } k\text{-ième lancer}) = \frac{\dbinom{k - 1}{n}\,2^{2n+1-k}}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2^{k}}\dbinom{k - 1}{n}}$$ Cette probabilité est nulle pour $k \leqslant n$, ce qui est attendu : il faut au moins $n + 1$ lancers pour obtenir $n + 1$ piles.

3. L'événement $G$ signifie « au moins $n + 1$ piles », c'est-à-dire « le $(n + 1)$-ième pile apparaît au cours des $2n + 1$ lancers ». C'est la réunion des événements de la question 2 pour $k \in \llbracket n+1\,,2n+1 \rrbracket$, qui sont deux à deux incompatibles puisque le rang du $(n + 1)$-ième pile est unique. La proposition 7 (i) et la question 1 donnent $$\boxed{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{2^{k}}\dbinom{k - 1}{n} = \mathrm{P}(G) = \frac{1}{2}}$$ Pour $n = 1$, on trouve $\frac{1}{4} + \frac{2}{8} = \frac{1}{2}$ ✓ ; l'identité a été vérifiée par énumération jusqu'à $n = 5$.

À retenir. C'est un exemple de démonstration probabiliste d'une identité : on calcule de deux façons la probabilité d'un même événement. Une démonstration purement calculatoire de cette identité n'est pas immédiate ; ici, la symétrie de la question 1 fait tout le travail.