Exercice 93

Les $n^{2}$ variables sont centrées : $\mathrm{E}(X_{i,j}) = 0$, et $X_{i,j}^{2} = 1$, donc $\mathrm{V}(X_{i,j}) = 1$.

1. On a $\operatorname{tr}(M) = \sum_{i=1}^{n} X_{i,i}$. Les variables $B_{i} = \frac{X_{i,i} + 1}{2}$ sont mutuellement indépendantes (proposition 16), de loi $\mathcal{B}(\frac{1}{2})$, et $\frac{\operatorname{tr}(M) + n}{2} = \sum_{i} B_{i}$ suit la loi $\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})$ (théorème 8). D'où $$\boxed{\mathrm{P}\big(\operatorname{tr}(M) = 2k - n\big) = \binom{n}{k}\frac{1}{2^{n}}, \qquad k \in \llbracket 0\,,n \rrbracket}$$ Par linéarité et par le théorème 13, les $X_{i,i}$ étant indépendantes, $$\boxed{\mathrm{E}\big(\operatorname{tr}(M)\big) = 0, \qquad \mathrm{V}\big(\operatorname{tr}(M)\big) = n}$$ C'est la marche aléatoire de la section 21.5.7 : la trace est la position d'un marcheur après $n$ pas.

2. Comme tous les coefficients sont non nuls, $M \neq 0$ et $\mathrm{rg}(M) \geqslant 1$. La matrice est de rang $1$ si et seulement si toutes ses colonnes sont proportionnelles à la première, $C_{1}$, qui est non nulle (chapitre 16). Une colonne $C_{j}$ à coefficients $\pm 1$ s'écrit $\lambda C_{1}$ si et seulement si $\lambda = \pm 1$, puisque les coefficients de $\lambda C_{1}$ sont $\pm\lambda$. Ainsi $\mathrm{rg}(M) = 1$ si et seulement si $C_{j} \in \{C_{1}, -C_{1}\}$ pour tout $j \in \llbracket 2\,,n \rrbracket$. La matrice $M$ suit la loi uniforme sur les $2^{n^{2}}$ matrices à coefficients $\pm 1$, par indépendance, et il y a $2^{n}$ choix de $C_{1}$ et $2$ choix pour chacune des $n - 1$ autres colonnes : $$\mathrm{P}\big(\mathrm{rg}(M) = 1\big) = \frac{2^{n} \times 2^{n-1}}{2^{n^{2}}}, \qquad \boxed{\mathrm{P}\big(\mathrm{rg}(M) = 1\big) = \frac{1}{2^{(n-1)^{2}}}}$$ Pour $n = 1$, on trouve $1$, et pour $n = 2$, $\frac{1}{2}$ : une matrice $2 \times 2$ à coefficients $\pm 1$ est inversible une fois sur deux.

3. Par la définition du déterminant (chapitre 17), $$\det(M) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}} \varepsilon(\sigma)\,T_{\sigma}, \qquad T_{\sigma} = \prod_{j=1}^{n} X_{\sigma(j),j}.$$ Le produit $T_{\sigma}$ porte sur $n$ coefficients de positions distinctes $(\sigma(j), j)$, donc mutuellement indépendants : par la proposition 20, $\mathrm{E}(T_{\sigma}) = 0$, et, par linéarité, $\boxed{\mathrm{E}\big(\det(M)\big) = 0}$.

Soit $\sigma \neq \tau$. Dans le produit $T_{\sigma}T_{\tau}$, le facteur de la colonne $j$ vaut $X_{\sigma(j),j}^{2} = 1$ si $\sigma(j) = \tau(j)$, et $X_{\sigma(j),j}X_{\tau(j),j}$ sinon. Ainsi $T_{\sigma}T_{\tau}$ est le produit des coefficients situés aux positions $(\sigma(j), j)$ et $(\tau(j), j)$, pour les $j$ tels que $\sigma(j) \neq \tau(j)$ ; ces positions sont deux à deux distinctes, et il y en a au moins deux, puisque $\sigma \neq \tau$. Par la proposition 20, $\mathrm{E}(T_{\sigma}T_{\tau}) = 0$, donc $\operatorname{Cov}(T_{\sigma}, T_{\tau}) = 0$, alors que $\mathrm{V}(T_{\sigma}) = \mathrm{E}(T_{\sigma}^{2}) = 1$. Les $n!$ variables $\varepsilon(\sigma)T_{\sigma}$ sont deux à deux décorrélées, et le théorème 13 donne $$\boxed{\mathrm{V}\big(\det(M)\big) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}} \varepsilon(\sigma)^{2}\mathrm{V}(T_{\sigma}) = n!}$$ Pour $n = 2$, $\det(M)$ vaut $0$ avec la probabilité $\frac{1}{2}$, et $\pm 2$ avec la probabilité $\frac{1}{4}$ chacun : la variance vaut bien $2$. Pour $n = 3$, l'énumération des $512$ matrices donne $\mathrm{P}(\det M = 0) = \frac{5}{8}$ et $\mathrm{P}(\det M = \pm 4) = \frac{3}{16}$ chacun, de variance $6$ ✓.

Piège. Les variables $T_{\sigma}$ ne sont pas indépendantes : deux d'entre elles partagent en général des coefficients. Le théorème 13 n'a besoin que de leur décorrélation deux à deux, qui se vérifie par la proposition 20 appliquée aux coefficients, eux indépendants. L'erreur la plus répandue est d'invoquer une indépendance qui n'existe pas.

À retenir. L'écart type de $\det(M)$ vaut $\sqrt{n!}$ : le déterminant d'une matrice aléatoire à coefficients $\pm 1$ est en moyenne nul, mais il est typiquement de l'ordre de $\sqrt{n!}$, bien plus petit que $n!$, nombre de termes de la somme, en raison des compensations entre termes de signes opposés.