Exercice 38

1. On note $x = \mathrm{P}(A \cap B)$, $y = \mathrm{P}(A \cap \overline{B})$, $z = \mathrm{P}(\overline{A} \cap B)$, $w = \mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B})$ les probabilités des quatre atomes de l'exercice 23, avec $x + y + z + w = 1$. Alors $\mathrm{P}(A) = x + y$ et $\mathrm{P}(B) = x + z$, d'où $$\mathrm{P}(A)\,\mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) = x^{2} + xz + xy + yz - x = x(x + y + z - 1) + yz = yz - xw.$$

$$\boxed{A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff \mathrm{P}(A \cap B)\,\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = \mathrm{P}(A \cap \overline{B})\,\mathrm{P}(\overline{A} \cap B)}$$ La condition est symétrique en $A$ et $B$, et inchangée si l'on remplace $A$ par $\overline{A}$ : on retrouve la proposition 10 (ii). Dans le tableau des quatre atomes, elle dit que le « déterminant » $xw - yz$ est nul ; l'exercice 62 généralisera cette remarque.

2. Si $A \subset B$, alors $A \cap B = A$, et l'indépendance s'écrit $\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A)\,\mathrm{P}(B)$, c'est-à-dire $$\mathrm{P}(A)\big(1 - \mathrm{P}(B)\big) = 0.$$

$$\boxed{A \subset B \text{ et } A, B \text{ indépendants} \implies \mathrm{P}(A) = 0 \text{ ou } \mathrm{P}(B) = 1}$$ Avec $B = A$, l'événement $A$ est indépendant de lui-même si et seulement si $\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A)^{2}$ : $$\boxed{A \text{ est indépendant de lui-même} \iff \mathrm{P}(A) \in \{0, 1\}}$$ Si toutes les issues ont une probabilité strictement positive, ce sont exactement $\varnothing$ et $\Omega$ ; sinon, un événement non vide peut être de probabilité nulle. Un événement indépendant de lui-même est « certain ou impossible » : savoir qu'il est réalisé n'apprend rien, parce qu'on le savait déjà.

3. Supposons $A_{1}$, …, $A_{n}$ mutuellement indépendants, de probabilité $p < 1$, et de réunion $\Omega$. Par la proposition 10 (iii), les contraires $\overline{A_{1}}$, …, $\overline{A_{n}}$ sont mutuellement indépendants, et $$\mathrm{P}\big(\overline{A_{1}} \cap \cdots \cap \overline{A_{n}}\big) = (1 - p)^{n} > 0.$$ Or cet événement est le contraire de $A_{1} \cup \cdots \cup A_{n} = \Omega$, c'est-à-dire $\varnothing$, de probabilité nulle : contradiction. $$\boxed{\text{il n'existe pas de tels événements}}$$ Des événements indépendants ne peuvent pas « se partager » l'univers : quel que soit leur nombre, il reste une probabilité $(1 - p)^{n}$ qu'aucun ne soit réalisé. Au contraire, des événements incompatibles de probabilité $\frac{1}{n}$ peuvent recouvrir $\Omega$, ce qui illustre une fois de plus la différence entre indépendance et incompatibilité.