Exercice 37

On note $T$ l'événement « le dé choisi est pipé », de probabilité $\mathrm{P}(T) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$, et $S_{n}$ l'événement « les $n$ premiers lancers donnent $6$ ». L'hypothèse d'indépendance sachant le dé choisi signifie que, pour la probabilité $\mathrm{P}_{T}$ comme pour la probabilité $\mathrm{P}_{\overline{T}}$, les événements « le $i$-ième lancer donne $6$ » sont mutuellement indépendants, de probabilités respectives $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{6}$. Ainsi $$\mathrm{P}_{T}(S_{n}) = \frac{1}{2^{n}}, \qquad \mathrm{P}_{\overline{T}}(S_{n}) = \frac{1}{6^{n}}.$$

1. C'est le cas $n = 1$ de la question suivante : par la formule de Bayes, $$\mathrm{P}_{S_{1}}(T) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}}, \qquad \boxed{\mathrm{P}_{S_{1}}(T) = \frac{1}{2}}$$

2. De même, par les théorèmes 5 et 6, $$p_{n} = \mathrm{P}_{S_{n}}(T) = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{n}}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{n}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6^{n}}} = \frac{1}{1 + 3 \cdot \frac{2^{n}}{6^{n}}}, \qquad \boxed{p_{n} = \frac{3^{n}}{3^{n} + 3} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$$ On trouve $p_{0} = \frac{1}{4}$, $p_{1} = \frac{1}{2}$, $p_{2} = \frac{3}{4}$, $p_{3} = \frac{9}{10}$, $p_{4} = \frac{27}{28}$ ✓. Chaque nouveau $6$ multiplie par $3$ le rapport $\frac{p_{n}}{1 - p_{n}} = 3^{n-1}$, qui est le rapport des chances « pipé contre équilibré » : c'est le rapport $\frac{1/2}{1/6}$ des probabilités d'obtenir $6$ avec les deux sortes de dés. Une longue série de $6$ rend la culpabilité du dé presque certaine, bien qu'un dé équilibré puisse aussi la produire.

Piège. Les lancers sont indépendants sachant le dé, mais pas pour la probabilité $\mathrm{P}$ : l'événement « le premier lancer donne $6$ », de probabilité $\frac{1}{4}$, rend le dé plus suspect et le second $6$ plus probable. L'erreur la plus répandue est d'écrire $\mathrm{P}(S_{n}) = \mathrm{P}(S_{1})^{n}$ ; on calcule $\mathrm{P}(S_{n})$ par la formule des probabilités totales, comme le fera l'exercice 43.