Exercice 36

On note $C$ l'événement « le candidat connaît la réponse » et $E$ l'événement « il donne la réponse exacte ». Les données sont $\mathrm{P}(C) = p$, $\mathrm{P}_{C}(E) = 1$ et, s'il répond au hasard parmi les $m$ réponses, $\mathrm{P}_{\overline{C}}(E) = \frac{1}{m}$.

On lit sur l'arbre les deux chemins qui mènent à $E$, de probabilités $p$ et $\frac{1 - p}{m}$ ; la réponse cherchée est la part du premier dans leur somme.

Par la formule des probabilités totales, $\mathrm{P}(E) = p + \frac{1 - p}{m} > 0$, puis, par la formule de Bayes, $$\mathrm{P}_{E}(C) = \frac{\mathrm{P}_{C}(E)\,\mathrm{P}(C)}{\mathrm{P}(E)} = \frac{p}{p + \frac{1 - p}{m}}, \qquad \boxed{\mathrm{P}_{E}(C) = \frac{mp}{1 + (m - 1)p}}$$ Pour $m = 4$ et $p = \frac{1}{2}$ : $$\boxed{\mathrm{P}_{E}(C) = \frac{2}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{4}{5}}$$ À $p$ fixé dans $\left]0\,,1\right[$, la fonction $m \mapsto \frac{mp}{1 - p + mp}$ est croissante, de dérivée $\frac{p(1 - p)}{(1 - p + mp)^{2}} > 0$, et tend vers $1$ quand $m$ tend vers $+\infty$ : pour $p = \frac{1}{2}$, elle vaut $\frac{2}{3}$ pour $m = 2$ et $\frac{10}{11}$ pour $m = 10$. Plus il y a de réponses proposées, moins une bonne réponse peut être due au hasard, et plus elle témoigne d'une connaissance réelle. Pour $p = 1$, la probabilité vaut $1$ quel que soit $m$.

Piège. L'erreur la plus répandue est de confondre $\mathrm{P}_{E}(C)$, qui est demandée, et $\mathrm{P}_{C}(E) = 1$ : un candidat qui sait répond juste, mais un candidat qui répond juste ne sait pas forcément. C'est la confusion signalée dans la remarque qui suit l'exemple du test de dépistage (section 21.4.1).