Exercice 35

On choisit un client au hasard dans un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathrm{P})$. Les événements $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{3}$ forment un système complet, avec $\mathrm{P}(R_{1}) = 0{,}2$, $\mathrm{P}(R_{2}) = 0{,}5$ et $\mathrm{P}(R_{3}) = 0{,}3$. On note $A$ l'événement « le client a un accident dans l'année » ; les données sont $\mathrm{P}_{R_{1}}(A) = 0{,}05$, $\mathrm{P}_{R_{2}}(A) = 0{,}15$ et $\mathrm{P}_{R_{3}}(A) = 0{,}30$.

1. La formule des probabilités totales (théorème 5) donne $$\mathrm{P}(A) = 0{,}05 \times 0{,}2 + 0{,}15 \times 0{,}5 + 0{,}30 \times 0{,}3 = 0{,}01 + 0{,}075 + 0{,}09, \qquad \boxed{\mathrm{P}(A) = 0{,}175 = \frac{7}{40}}$$

2. On cherche $\mathrm{P}_{\overline{A}}(R_{1})$. Par la proposition 8, $\mathrm{P}_{R_{1}}(\overline{A}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$, et $\mathrm{P}(\overline{A}) = 0{,}825$. La formule de Bayes (théorème 6) donne $$\mathrm{P}_{\overline{A}}(R_{1}) = \frac{\mathrm{P}_{R_{1}}(\overline{A})\,\mathrm{P}(R_{1})}{\mathrm{P}(\overline{A})} = \frac{0{,}95 \times 0{,}2}{0{,}825} = \frac{0{,}19}{0{,}825}, \qquad \boxed{\mathrm{P}_{\overline{A}}(R_{1}) = \frac{38}{165} \approx 0{,}230}$$

Les trois chemins qui mènent à $\overline{A}$ ont pour probabilités $0{,}19$, $0{,}425$ et $0{,}21$, de somme $0{,}825$ ; la formule de Bayes mesure la part du chemin bleu dans cette somme. Les deux autres parts donnent $\mathrm{P}_{\overline{A}}(R_{2}) = \frac{17}{33}$ et $\mathrm{P}_{\overline{A}}(R_{3}) = \frac{14}{55}$, et les trois probabilités totalisent $\frac{38 + 85 + 42}{165} = 1$ ✓.

L'absence d'accident fait passer la probabilité d'être un bon risque de $0{,}2$ à $0{,}23$ seulement : une année sans accident est le cas de loin le plus fréquent dans toutes les catégories, et elle n'apporte qu'une information faible. C'est pourquoi un assureur révise ses tarifs sur plusieurs années.