Exercice 39

1. L'erreur $i$ subsiste après la $j$-ième relecture si et seulement si elle subsistait avant cette relecture et si $C_{i,j}$ n'est pas réalisé. Par récurrence sur $j$, l'erreur $i$ subsiste après $n$ relectures si et seulement si l'événement $\overline{C_{i,1}} \cap \cdots \cap \overline{C_{i,n}}$ est réalisé. Ces contraires sont mutuellement indépendants (proposition 10 (iii)), de probabilité $\frac{2}{3}$ : $$\boxed{\mathrm{P}(\text{l'erreur } 1 \text{ subsiste après } n \text{ relectures}) = \Big(\frac{2}{3}\Big)^{n}}$$

2. Notons $S_{i} = \overline{C_{i,1}} \cap \cdots \cap \overline{C_{i,n}}$ l'événement « l'erreur $i$ subsiste ». Pour toute partie $I$ de $\llbracket 1\,,4 \rrbracket$, l'intersection des $S_{i}$ pour $i \in I$ est l'intersection des $\overline{C_{i,j}}$ pour $i \in I$ et $j \in \llbracket 1\,,n \rrbracket$, d'où, par l'indépendance mutuelle des $\overline{C_{i,j}}$, $$\mathrm{P}\Big(\bigcap_{i \in I} S_{i}\Big) = \Big(\frac{2}{3}\Big)^{n|I|} = \prod_{i \in I} \mathrm{P}(S_{i}) :$$ les événements $S_{1}$, …, $S_{4}$ sont mutuellement indépendants, donc aussi leurs contraires. Le livre ne contient plus d'erreur lorsque $\overline{S_{1}} \cap \cdots \cap \overline{S_{4}}$ est réalisé : $$\boxed{\mathrm{P}(\text{plus aucune erreur après } n \text{ relectures}) = \Big(1 - \Big(\frac{2}{3}\Big)^{n}\Big)^{4}}$$ Cette probabilité croît avec $n$. Un calcul exact en nombres rationnels donne $$\Big(1 - \Big(\frac{2}{3}\Big)^{9}\Big)^{4} \approx 0{,}89994 < 0{,}9 < \Big(1 - \Big(\frac{2}{3}\Big)^{10}\Big)^{4} \approx 0{,}93242, \qquad \boxed{\text{il faut } 10 \text{ relectures}}$$

Piège. La valeur obtenue pour $n = 9$ est à moins de $10^{-4}$ du seuil : en résolvant $\big(\frac{2}{3}\big)^{n} < 1 - 0{,}9^{1/4}$ par logarithmes, on trouve $n > 9{,}0015$, et une valeur approchée trop grossière de $0{,}9^{1/4}$ conduirait à la réponse fausse $n = 9$. Dans un tel cas, on contrôle les deux entiers voisins par un calcul exact. L'erreur la plus répandue, sur le fond, est de répondre $\big(\frac{2}{3}\big)^{4n}$ ou $1 - \big(\frac{2}{3}\big)^{4n}$ en mélangeant les quatre erreurs et les $n$ relectures.