Exercice 40

Comme $A \subset A \cup B$, on a $\mathrm{P}(A \cup B) \geqslant \mathrm{P}(A) > 0$, et les deux probabilités conditionnelles sont définies. Comme $(A \cap B) \cap (A \cup B) = A \cap B$ et $(A \cap B) \cap A = A \cap B$, $$\mathrm{P}_{A \cup B}(A \cap B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A \cup B)} \leqslant \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} = \mathrm{P}_{A}(A \cap B), \qquad \boxed{\mathrm{P}_{A \cup B}(A \cap B) \leqslant \mathrm{P}_{A}(A \cap B)}$$ avec égalité si et seulement si $\mathrm{P}(A \cap B) = 0$ ou $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A)$, c'est-à-dire $\mathrm{P}(B \setminus A) = 0$.

Interprétation. Les informations « $A$ est réalisé » et « $A$ ou $B$ est réalisé » ne sont pas aussi riches : la première est plus précise, et elle est plus favorable à la réalisation simultanée de $A$ et de $B$. Si $\mathrm{P}(B) > 0$, l'inégalité vaut aussi en échangeant $A$ et $B$, et $$\mathrm{P}_{A}(A \cap B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}, \qquad \mathrm{P}_{B}(A \cap B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)} :$$ parmi les trois informations « $A$ », « $B$ » et « $A$ ou $B$ », la plus favorable est donc la réalisation de celui des deux événements qui est le moins probable, et la moins favorable est « $A$ ou $B$ ».

C'est exactement l'exemple qui suit la proposition 8 : avec $A$ « l'aîné est un garçon » et $B$ « le cadet est un garçon », on a $A \cup B = U$ et $A \cap B = D$, et l'on y a trouvé $\mathrm{P}_{U}(D) = \frac{1}{3}$, contre $\mathrm{P}_{A}(D) = \frac{1}{2}$.

Piège. L'erreur la plus répandue est de penser qu'en apprenant « $A$ ou $B$ », on apprend « au moins autant » qu'en apprenant « $A$ » : c'est l'inverse, puisque $A \cup B$ est un événement plus grand, donc une information plus pauvre. On retrouvera ce phénomène à l'exercice 42.